$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、関数 $y = \cos^2\theta - \cos\theta$ の最大値と最小値を求め、そのときの $\theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、関数 $y = \cos^2\theta - \cos\theta$ の最大値と最小値を求め、そのときの $\theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\cos\theta = t$ とおく。$\theta$ の範囲が $0 \le \theta < 2\pi$ であるから、$-1 \le t \le 1$ となる。

(2) $y$ を $t$ の関数で表す。

$y = t^2 - t$

(3) $y$ を平方完成する。

$y = \left(t - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4}$

(4) $y$ の最大値と最小値を求める。

$y$ は $t = \frac{1}{2}$ のとき最小値 $-\frac{1}{4}$ をとる。

$y$ は $t = -1$ のとき最大値 $2$ をとる。

(5) それぞれの $t$ の値に対応する $\theta$ の値を求める。

$t = \frac{1}{2}$ のとき、$\cos\theta = \frac{1}{2}$。$0 \le \theta < 2\pi$ より、$\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$。

$t = -1$ のとき、$\cos\theta = -1$。$0 \le \theta < 2\pi$ より、$\theta = \pi$。

3. 最終的な答え

最大値：$2$ ($\theta = \pi$ のとき)

最小値：$-\frac{1}{4}$ ($\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$ のとき)