関数 $f(x) = x^2 - 2x$ が与えられている。区間 $t-1 \le x \le t+2$ における $f(x)$ の最小値を $m(t)$ とする。 (1) $m(0)$ と $m(3)$ を求めよ。 (2) $y = m(t)$ のグラフを描け。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 - 2x$ が与えられている。区間 $t-1 \le x \le t+2$ における $f(x)$ の最小値を $m(t)$ とする。

(1) $m(0)$ と $m(3)$ を求めよ。

(2) $y = m(t)$ のグラフを描け。

2. 解き方の手順

(1) まず、$f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1$

よって、$f(x)$ は $x=1$ で最小値 $-1$ をとる。

次に、$m(0)$ を求める。区間は $0-1 \le x \le 0+2$ すなわち $-1 \le x \le 2$ である。この区間における $f(x)$ の最小値を求める。軸 $x=1$ はこの区間に含まれているので、最小値は $f(1) = -1$ である。したがって、$m(0) = -1$。

次に、$m(3)$ を求める。区間は $3-1 \le x \le 3+2$ すなわち $2 \le x \le 5$ である。この区間における $f(x)$ の最小値を求める。軸 $x=1$ はこの区間に含まれていない。$f(x)$ は $x=1$ から遠ざかるほど大きくなるから、$x=2$ で最小値をとる。したがって、$m(3) = f(2) = 2^2 - 2(2) = 0$。

(2) 区間 $t-1 \le x \le t+2$ における $f(x) = (x-1)^2 - 1$ の最小値 $m(t)$ を求める。

場合分けをする。

(i) $t+2 < 1$ すなわち $t < -1$ のとき、区間は軸より右側にあるので、$x=t+2$ で最小値をとる。

$m(t) = f(t+2) = (t+2-1)^2 - 1 = (t+1)^2 - 1 = t^2 + 2t$

(ii) $t-1 > 1$ すなわち $t > 2$ のとき、区間は軸より左側にあるので、$x=t-1$ で最小値をとる。

$m(t) = f(t-1) = (t-1-1)^2 - 1 = (t-2)^2 - 1 = t^2 - 4t + 3$

(iii) $t-1 \le 1 \le t+2$ すなわち $-1 \le t \le 2$ のとき、軸が区間内にあるので、$x=1$ で最小値をとる。

$m(t) = f(1) = -1$

したがって、

$m(t) = \begin{cases} t^2 + 2t & (t < -1) \\ -1 & (-1 \le t \le 2) \\ t^2 - 4t + 3 & (t > 2) \end{cases}$

$y=m(t)$ のグラフは、

$t < -1$ のとき、$y = t^2 + 2t = (t+1)^2 - 1$ であり、頂点は $(-1, -1)$。

$-1 \le t \le 2$ のとき、$y = -1$。

$t > 2$ のとき、$y = t^2 - 4t + 3 = (t-2)^2 - 1$ であり、頂点は $(2, -1)$。

3. 最終的な答え

(1) $m(0) = -1$, $m(3) = 0$

(2) $y = m(t)$ のグラフ:

$t<-1$ で $y=t^2+2t$ (頂点 $(-1,-1)$)

$-1 \le t \le 2$ で $y=-1$

$t>2$ で $y=t^2-4t+3$ (頂点 $(2,-1)$)