2重積分 $\iint_D \sqrt{y-x} \, dxdy$ を、領域 $D = \{(x,y) \, | \, x+y \leq 1, \, y \geq x, \, x \geq 0\}$ 上で計算する。

1. 問題の内容

2重積分 $\iint_D \sqrt{y-x} \, dxdy$ を、領域 $D = \{(x,y) \, | \, x+y \leq 1, \, y \geq x, \, x \geq 0\}$ 上で計算する。

2. 解き方の手順

まず、領域 $D$ を決定します。不等式 $x+y \leq 1$ は $y \leq 1-x$ を意味します。また、$y \geq x$ かつ $x \geq 0$ です。したがって、$D$ は $x \geq 0$, $y \geq x$, $y \leq 1-x$ で囲まれた領域です。

$x=y$ と $y=1-x$ の交点を求めると、$x=1-x$ より $2x=1$ なので、$x=1/2$。よって、$y=1/2$。

したがって、積分範囲は $0 \leq x \leq 1/2$ かつ $x \leq y \leq 1-x$ となります。

2重積分を計算します。

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\iint_D \sqrt{y-x} \, dxdy = \int_0^{1/2} \int_x^{1-x} \sqrt{y-x} \, dy \, dx

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まず、内側の積分を計算します。

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\int_x^{1-x} \sqrt{y-x} \, dy = \left[ \frac{2}{3} (y-x)^{3/2} \right]_x^{1-x} = \frac{2}{3} ((1-x)-x)^{3/2} - \frac{2}{3} (x-x)^{3/2} = \frac{2}{3} (1-2x)^{3/2}

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次に、外側の積分を計算します。

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\int_0^{1/2} \frac{2}{3} (1-2x)^{3/2} \, dx = \frac{2}{3} \int_0^{1/2} (1-2x)^{3/2} \, dx

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ここで、$u = 1-2x$ とすると、$du = -2 \, dx$ より、$dx = -\frac{1}{2} \, du$。

$x=0$ のとき $u=1$、$x=1/2$ のとき $u=0$ なので、積分範囲は $1$ から $0$ に変わります。

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\frac{2}{3} \int_1^0 u^{3/2} \left( -\frac{1}{2} \right) \, du = -\frac{1}{3} \int_1^0 u^{3/2} \, du = \frac{1}{3} \int_0^1 u^{3/2} \, du = \frac{1}{3} \left[ \frac{2}{5} u^{5/2} \right]_0^1 = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} (1^{5/2} - 0^{5/2}) = \frac{2}{15}

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3. 最終的な答え

$\frac{2}{15}$