2階線形同次微分方程式 $y'' + 2y' + y = 0$ の一般解を求める問題です。

1. 問題の内容

2階線形同次微分方程式 $y'' + 2y' + y = 0$ の一般解を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた微分方程式の特性方程式は $\lambda^2 + 2\lambda + 1 = 0$ です。

この特性方程式は $(\lambda + 1)^2 = 0$ と因数分解できるため、重根 $\lambda = -1$ を持ちます。

重根の場合、基本解は $e^{-x}$ と $xe^{-x}$ となります。

したがって、一般解は $y = C_1 e^{-x} + C_2 x e^{-x}$ となります。

これは $y = (C_1 + C_2 x)e^{-x}$ とも書けます。ここで $C_1$ と $C_2$ は任意の定数です。

3. 最終的な答え

$y = C_1 e^{-x} + C_2 x e^{-x}$

または

$y = (C_1 + C_2 x)e^{-x}$ ($C_1, C_2$ は任意の定数)