放物線とx軸で囲まれた領域の面積 $S$ を計算する問題です。放物線がx軸と交わる点が $x=0$ と $x=R = \frac{v_0^2 \sin 2\theta}{g}$ であり、$S = \int_0^R y \, dx$ で与えられます。ここで、$y = -\frac{g}{2v_0^2 \cos^2 \theta} x^2 + \tan \theta \cdot x$ です。積分を実行し、面積$S$を求めます。

1. 問題の内容

放物線とx軸で囲まれた領域の面積 $S$ を計算する問題です。放物線がx軸と交わる点が $x=0$ と $x=R = \frac{v_0^2 \sin 2\theta}{g}$ であり、$S = \int_0^R y \, dx$ で与えられます。ここで、$y = -\frac{g}{2v_0^2 \cos^2 \theta} x^2 + \tan \theta \cdot x$ です。積分を実行し、面積$S$を求めます。

2. 解き方の手順

与えられた積分を実行します。

まず、不定積分を計算します。

$\int \left( -\frac{g}{2v_0^2 \cos^2 \theta} x^2 + \tan \theta \cdot x \right) dx = -\frac{g}{6v_0^2 \cos^2 \theta} x^3 + \frac{\tan \theta}{2} x^2 + C$

次に、定積分を計算します。

$S = \left[ -\frac{g}{6v_0^2 \cos^2 \theta} x^3 + \frac{\tan \theta}{2} x^2 \right]_0^R = -\frac{g}{6v_0^2 \cos^2 \theta} R^3 + \frac{\tan \theta}{2} R^2$

ここで、$R = \frac{v_0^2 \sin 2\theta}{g}$ を代入します。

$S = -\frac{g}{6v_0^2 \cos^2 \theta} \left( \frac{v_0^2 \sin 2\theta}{g} \right)^3 + \frac{\tan \theta}{2} \left( \frac{v_0^2 \sin 2\theta}{g} \right)^2$

$S = -\frac{g}{6v_0^2 \cos^2 \theta} \frac{v_0^6 \sin^3 2\theta}{g^3} + \frac{\sin \theta}{2\cos \theta} \frac{v_0^4 \sin^2 2\theta}{g^2}$

$S = -\frac{v_0^4 \sin^3 2\theta}{6g^2 \cos^2 \theta} + \frac{v_0^4 \sin \theta \sin^2 2\theta}{2g^2 \cos \theta}$

ここで、$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ を用います。

$S = -\frac{v_0^4 (2 \sin \theta \cos \theta)^3}{6g^2 \cos^2 \theta} + \frac{v_0^4 \sin \theta (2 \sin \theta \cos \theta)^2}{2g^2 \cos \theta}$

$S = -\frac{v_0^4 8 \sin^3 \theta \cos^3 \theta}{6g^2 \cos^2 \theta} + \frac{v_0^4 \sin \theta 4 \sin^2 \theta \cos^2 \theta}{2g^2 \cos \theta}$

$S = -\frac{4v_0^4 \sin^3 \theta \cos \theta}{3g^2} + \frac{2v_0^4 \sin^3 \theta \cos \theta}{g^2}$

$S = v_0^4 \sin^3 \theta \cos \theta \left( -\frac{4}{3g^2} + \frac{2}{g^2} \right)$

$S = v_0^4 \sin^3 \theta \cos \theta \left( \frac{-4 + 6}{3g^2} \right)$

$S = \frac{2 v_0^4 \sin^3 \theta \cos \theta}{3 g^2}$

ここで、$\sin^2 2\theta = 4 \sin^2 \theta \cos^2 \theta$ なので、

$S = \frac{1}{12} \frac{v_0^4 \sin^2 2\theta}{g^2} \times 8 \sin \theta / \cos \theta$

問題文に与えられた最後の行の答えと比較すると，計算ミスがあることがわかります。積分範囲を代入したところから計算をやり直します。

$S = -\frac{g}{6v_0^2 \cos^2 \theta} R^3 + \frac{\tan \theta}{2} R^2 = -\frac{g}{6v_0^2 \cos^2 \theta} \left( \frac{v_0^2 \sin 2\theta}{g} \right)^3 + \frac{\tan \theta}{2} \left( \frac{v_0^2 \sin 2\theta}{g} \right)^2$

$= - \frac{v_0^4 \sin^3 2\theta}{6g^2 \cos^2 \theta} + \frac{\sin \theta}{2\cos \theta} \frac{v_0^4 \sin^2 2\theta}{g^2} = - \frac{4v_0^4 \sin^3 \theta \cos \theta}{3g^2} + \frac{2 v_0^4 \sin \theta \cos \theta \sin^2 \theta}{g^2} = \frac{v_0^4 \sin^3 \theta \cos \theta}{3g^2}(6-4) = \frac{2 v_0^4 \sin^3 \theta \cos \theta}{3g^2}$

元の問題文の最終行にある $\frac{1}{12} \frac{v_0^4 \sin^2 2\theta}{g}$ は誤りです。

与えられた積分を計算すると、

$-\frac{g}{6v_0^2 \cos^2 \theta} R^3 + \frac{\tan \theta}{2} R^2 = - \frac{g}{6v_0^2 \cos^2 \theta} \left(\frac{v_0^2 \sin 2\theta}{g}\right)^3 + \frac{\tan \theta}{2} \left(\frac{v_0^2 \sin 2\theta}{g}\right)^2 = \frac{v_0^4}{g^2} \left( - \frac{\sin^3 2\theta}{6\cos^2 \theta} + \frac{\sin \theta \sin^2 2\theta}{2\cos \theta}\right)$.

$\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$ を代入します。

$= \frac{v_0^4}{g^2} \left(-\frac{8\sin^3 \theta \cos^3 \theta}{6 \cos^2 \theta} + \frac{\sin \theta \cdot 4\sin^2 \theta \cos^2 \theta}{2 \cos \theta}\right) = \frac{v_0^4}{g^2} \left(-\frac{4\sin^3 \theta \cos \theta}{3} + 2 \sin^3 \theta \cos \theta\right) = \frac{v_0^4 \sin^3 \theta \cos \theta}{g^2} \left(-\frac{4}{3} + 2\right) = \frac{2 v_0^4 \sin^3 \theta \cos \theta}{3g^2}$.

3. 最終的な答え

$S = \frac{2 v_0^4 \sin^3 \theta \cos \theta}{3g^2}$