極限 $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x^2 - x - 6}$ を求めます。

## 問題 1 (1)

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x^2 - x - 6}$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、分子と分母を因数分解します。

$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$

$x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$

したがって、

$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x^2 - x - 6} = \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)(x + 2)} = \lim_{x \to 3} \frac{x + 3}{x + 2}$

$x$ が 3 に近づくとき、$\frac{x + 3}{x + 2}$ は $\frac{3 + 3}{3 + 2} = \frac{6}{5}$ に近づきます。

3. 最終的な答え

$\frac{6}{5}$

## 問題 1 (2)

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{\sqrt{x - 1} - \sqrt{2}}$ を求めます。

2. 解き方の手順

分母に $\sqrt{x-1} + \sqrt{2}$ を掛けて有理化します。

$\lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{\sqrt{x - 1} - \sqrt{2}} = \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(\sqrt{x - 1} + \sqrt{2})}{(\sqrt{x - 1} - \sqrt{2})(\sqrt{x - 1} + \sqrt{2})} = \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(\sqrt{x - 1} + \sqrt{2})}{(x - 1) - 2} = \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(\sqrt{x - 1} + \sqrt{2})}{x - 3} = \lim_{x \to 3} (\sqrt{x - 1} + \sqrt{2})$

$x$ が 3 に近づくとき、$\sqrt{x - 1} + \sqrt{2}$ は $\sqrt{3 - 1} + \sqrt{2} = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ に近づきます。

3. 最終的な答え

$2\sqrt{2}$

## 問題 1 (3)

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to \infty} \frac{x - 1}{\sqrt{4x^2} + x}$ を求めます。

2. 解き方の手順

分子と分母を $x$ で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{x - 1}{\sqrt{4x^2} + x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x(1 - \frac{1}{x})}{x(\sqrt{4} + 1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{x}}{\sqrt{4} + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{x}}{2 + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{x}}{3}$

$x$ が無限大に近づくとき、$\frac{1}{x}$ は 0 に近づきます。

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{x}}{3} = \frac{1 - 0}{3} = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3}$

## 問題 1 (4)

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 5x}$ を求めます。

2. 解き方の手順

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 5x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} \cdot \frac{5x}{\sin 5x} \cdot \frac{2x}{5x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{5x}{\sin 5x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{2x}{5x} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{2}{5}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{5}$

## 問題 2 (1)

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x}$ の導関数を求めます。

2. 解き方の手順

商の微分公式 $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を使います。

$u = \sin x - \cos x$ と $v = \sin x + \cos x$ とします。

$u' = \cos x + \sin x$

$v' = \cos x - \sin x$

$f'(x) = \frac{(\cos x + \sin x)(\sin x + \cos x) - (\sin x - \cos x)(\cos x - \sin x)}{(\sin x + \cos x)^2} = \frac{(\sin x + \cos x)^2 + (\sin x - \cos x)^2}{(\sin x + \cos x)^2} = \frac{\sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x + \sin^2 x - 2\sin x \cos x + \cos^2 x}{(\sin x + \cos x)^2} = \frac{2(\sin^2 x + \cos^2 x)}{(\sin x + \cos x)^2} = \frac{2}{\sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x} = \frac{2}{1 + 2\sin x \cos x} = \frac{2}{1 + \sin 2x}$

あるいは、

$f'(x) = \frac{(\cos x + \sin x)^2 - (\cos x - \sin x)(\sin x - \cos x)}{(\sin x + \cos x)^2} = \frac{(\cos x + \sin x)^2 + (\cos x - \sin x)^2}{(\sin x + \cos x)^2} = \frac{2(\cos^2 x + \sin^2 x)}{(\sin x + \cos x)^2} = \frac{2}{1 + \sin 2x}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{1 + \sin 2x}$

## 問題 2 (2)

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \log(\tan x)$ の導関数を求めます。

2. 解き方の手順

合成関数の微分公式を使います。

$\frac{d}{dx} \log(\tan x) = \frac{1}{\tan x} \cdot \frac{d}{dx} \tan x = \frac{1}{\tan x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{2}{2 \sin x \cos x} = \frac{2}{\sin 2x} = 2\csc 2x$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{\sin 2x}$ または $2 \csc 2x$