数列 $\{a_n\}$ の極限を求める問題です。ただし、$a_n = (1 - \frac{1}{n})^n$ で定義されます。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の極限を求める問題です。ただし、$a_n = (1 - \frac{1}{n})^n$ で定義されます。

2. 解き方の手順

この問題を解くには、まず $a_n$ の対数を取ります。

$b_n = \log a_n$ とすると、

$b_n = \log (1 - \frac{1}{n})^n = n \log (1 - \frac{1}{n})$ となります。

ここで、$n \to \infty$ のとき $\frac{1}{n} \to 0$ なので、$\log(1+x)$ の $x=0$ におけるTaylor展開 $\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - ...$ を利用します。

$b_n = n \log(1 - \frac{1}{n}) = n (-\frac{1}{n} - \frac{1}{2n^2} - \frac{1}{3n^3} - ...)$

$b_n = -1 - \frac{1}{2n} - \frac{1}{3n^2} - ...$

$n \to \infty$ のとき、$b_n \to -1$ となります。

つまり、$\lim_{n \to \infty} b_n = -1$ です。

$a_n = e^{b_n}$ なので、

$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} e^{b_n} = e^{\lim_{n \to \infty} b_n} = e^{-1} = \frac{1}{e}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{e}$