与えられた式は $\left(1 + \frac{a}{\sqrt{n}}\right)^n$ です。この式の極限値 $n \to \infty$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた式は $\left(1 + \frac{a}{\sqrt{n}}\right)^n$ です。この式の極限値 $n \to \infty$ を求めます。

2. 解き方の手順

与えられた式を $n \to \infty$ の極限で考えます。

$y = \left(1 + \frac{a}{\sqrt{n}}\right)^n$ とおきます。両辺の自然対数をとると、

$\ln y = \ln \left(1 + \frac{a}{\sqrt{n}}\right)^n = n \ln \left(1 + \frac{a}{\sqrt{n}}\right)$

ここで、 $x = \frac{1}{\sqrt{n}}$ とおくと、$n \to \infty$ のとき $x \to 0$ となります。すると、

$\ln y = \frac{1}{x^2} \ln(1 + ax)$

ここで、$x \to 0$ のとき $\ln(1+ax) \approx ax$ であることを用います。

$\ln y \approx \frac{1}{x^2} (ax) = \frac{a}{x} = a\sqrt{n}$

したがって、

$\ln y = \lim_{n\to\infty} n \ln \left(1 + \frac{a}{\sqrt{n}}\right)$

ここで、$t = \frac{1}{\sqrt{n}}$ とおくと、 $n = \frac{1}{t^2}$ となり、$n\to\infty$ のとき、$t\to 0$ となります。

$\ln y = \lim_{t\to 0} \frac{1}{t^2} \ln (1 + at)$

$\ln(1+at)$ をテイラー展開すると、$\ln(1+at) = at - \frac{(at)^2}{2} + \frac{(at)^3}{3} - \dots$ となるので、

$\ln y = \lim_{t\to 0} \frac{at - \frac{(at)^2}{2} + \frac{(at)^3}{3} - \dots}{t^2} = \lim_{t\to 0} \frac{a}{t} - \frac{a^2}{2} + \frac{a^3 t}{3} - \dots$

極限は存在しません。

しかし、$a=0$の場合は、$y = (1+0)^n = 1^n = 1$となり、$n\to\infty$でも１です。

別の解法：

$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{x}{n})^n = e^x$

$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{a}{\sqrt{n}})^n = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{a}{\sqrt{n}})^{\sqrt{n} \sqrt{n}} = e^{a \sqrt{n}}$

$n \to \infty$のとき、$e^{a \sqrt{n}}$は、$a > 0$ なら $\infty$ に、$a < 0$ なら $\lim_{n \to \infty} e^{a \sqrt{n}} = 0$ に発散します。

$a=0$なら1になります。

3. 最終的な答え

$a=0$のとき1, $a>0$のとき$\infty$, $a<0$のとき0