関数 $f(x) = \sqrt{x^2+1} + x$ の微分を求めよ。

はい、承知いたしました。画像の問題を解いて説明します。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \sqrt{x^2+1} + x$ の微分を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた関数は $f(x) = \sqrt{x^2+1} + x$です。この関数を微分するために、和の微分法則と合成関数の微分法則（連鎖律）を使用します。

まず、$f(x)$を2つの関数の和として考えます。$f(x) = g(x) + h(x)$、ここで $g(x) = \sqrt{x^2+1}$ であり、$h(x) = x$ です。

$h(x)$ の微分は簡単です：

$\frac{d}{dx}h(x) = \frac{d}{dx}x = 1$

次に、$g(x)$ を微分します。$g(x) = \sqrt{x^2+1} = (x^2+1)^{\frac{1}{2}}$　なので、連鎖律を使用します。

$g'(x) = \frac{1}{2}(x^2+1)^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{d}{dx}(x^2+1)$

$x^2+1$ の微分は $2x$ なので、

$g'(x) = \frac{1}{2}(x^2+1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

したがって、$f(x)$ の微分は $g'(x) + h'(x)$ です。

$f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} + 1$

$f'(x) = \frac{x + \sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}$

3. 最終的な答え

$\frac{d}{dx} (\sqrt{x^2+1} + x) = \frac{x + \sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}$