関数 $y = \sin^{-1}(-\sin x)$ のグラフを描く問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \sin^{-1}(-\sin x)$ のグラフを描く問題です。

2. 解き方の手順

まず、逆正弦関数の性質と、正弦関数の性質を利用して関数を簡略化します。

* $\sin^{-1}(-x) = -\sin^{-1}(x)$ という性質を利用します。

したがって、

$y = \sin^{-1}(-\sin x) = -\sin^{-1}(\sin x)$ となります。

* $\sin^{-1}(\sin x)$ の値は $x$ ではなく、$-\frac{\pi}{2} \leq \sin^{-1}(\sin x) \leq \frac{\pi}{2}$ の範囲になければなりません。したがって、場合分けが必要です。

* $-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}$ のとき、$\sin^{-1}(\sin x) = x$ となります。

このとき、$y = -x$ です。

* $\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{3\pi}{2}$ のとき、$x$ の値を $-\frac{\pi}{2} \le x' \le \frac{\pi}{2}$ の範囲に変換する必要があります。

$x' = \pi - x$ とすると、$\sin x = \sin (\pi - x)$ となります。

したがって、$\sin^{-1}(\sin x) = \sin^{-1}(\sin(\pi - x)) = \pi - x$ となります。

このとき、$y = -(\pi - x) = x - \pi$ です。

* 一般に、$\sin^{-1}(\sin x)$ は周期 $2\pi$ の周期関数なので、上記の範囲でグラフを描き、それを繰り返します。

3. 最終的な答え

$y = \sin^{-1}(-\sin x)$ のグラフは、$y = -\sin^{-1}(\sin x)$ であり、

* $-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}$ のとき、$y = -x$

* $\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{3\pi}{2}$ のとき、$y = x - \pi$

としてグラフを描き、$2\pi$ の周期で繰り返すグラフになります。

グラフは、x軸に対して点対称であり、y軸に対して奇関数です。