$x>0$ のとき、次の不等式を証明せよ。 $\sin x \ge x - \frac{x^2}{2}$

1. 問題の内容

$x>0$ のとき、次の不等式を証明せよ。

$\sin x \ge x - \frac{x^2}{2}$

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x)$ を次のように定義します。

$f(x) = \sin x - x + \frac{x^2}{2}$

次に、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = \cos x - 1 + x$

さらに、$f'(x)$ の導関数 $f''(x)$ を計算します。

$f''(x) = -\sin x + 1$

$x > 0$ において、$f''(x) \ge 0$ です。なぜなら、$-1 \le \sin x \le 1$ より、$-\sin x \ge -1$ であり、$-\sin x + 1 \ge 0$ となるからです。したがって、$f'(x)$ は単調増加関数です。

$f'(0) = \cos 0 - 1 + 0 = 1 - 1 + 0 = 0$ であるため、$x > 0$ において、$f'(x) > f'(0) = 0$ が成り立ちます。したがって、$f(x)$ は単調増加関数です。

$f(0) = \sin 0 - 0 + \frac{0^2}{2} = 0 - 0 + 0 = 0$ であるため、$x > 0$ において、$f(x) > f(0) = 0$ が成り立ちます。したがって、$\sin x - x + \frac{x^2}{2} > 0$ となり、$\sin x > x - \frac{x^2}{2}$ が証明されました。

3. 最終的な答え

$\sin x \ge x - \frac{x^2}{2}$ が証明されました。