問題は、関数 $f(x) = \log(1+x)$ について、ある不等式が成り立つかどうかを確かめる問題です。具体的には、不等式 $$ \frac{x}{x+2} > \frac{x+\log x}{2} $$ または、不等式 $$ \log(1+x) > \frac{x}{x+2} $$ が与えられており、微分を用いて考察するものと思われます。最後に「の微分」とあるので、関連する関数の微分を求め、その結果を用いて不等式を証明するか、あるいは反例を見つける必要があるでしょう。

1. 問題の内容

問題は、関数 $f(x) = \log(1+x)$ について、ある不等式が成り立つかどうかを確かめる問題です。具体的には、不等式

$$\frac{x}{x+2} > \frac{x+\log x}{2}$$

または、不等式

$$\log(1+x) > \frac{x}{x+2}$$

が与えられており、微分を用いて考察するものと思われます。最後に「の微分」とあるので、関連する関数の微分を求め、その結果を用いて不等式を証明するか、あるいは反例を見つける必要があるでしょう。

2. 解き方の手順

まず、不等式 $\log(1+x) > \frac{x}{x+2}$ が成立するかを考えます。

(1) 関数 $f(x) = \log(1+x) - \frac{x}{x+2}$ を定義し、この関数の増減を調べます。

(2) $f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = \frac{1}{1+x} - \frac{(x+2) - x}{(x+2)^2} = \frac{1}{1+x} - \frac{2}{(x+2)^2} = \frac{(x+2)^2 - 2(1+x)}{(1+x)(x+2)^2} = \frac{x^2 + 4x + 4 - 2 - 2x}{(1+x)(x+2)^2} = \frac{x^2 + 2x + 2}{(1+x)(x+2)^2}$

(3) $x^2+2x+2 = (x+1)^2 + 1 > 0$ なので、$x > -1$ の範囲で $f'(x) > 0$ となります。

(4) $f(-1)$ は定義されないので、$x > -1$ の範囲で考えます。

$f(0) = \log(1+0) - \frac{0}{0+2} = \log(1) - 0 = 0$

(5) $x > 0$ において $f'(x) > 0$ なので、$f(x)$ は単調増加です。$f(0)=0$ であるため、$x > 0$ において $f(x) > 0$ となります。したがって、$x > 0$ において $\log(1+x) > \frac{x}{x+2}$ が成立します。

次に、不等式 $\frac{x}{x+2} > \frac{x+\log x}{2}$ を考えます。この不等式は、$x$ が正の数である必要があります。$x=1$のとき、$\frac{1}{3} > \frac{1+0}{2} = \frac{1}{2}$となり、成り立ちません。

3. 最終的な答え

$\log(1+x) > \frac{x}{x+2}$ は $x > 0$ で成立します。

$\frac{x}{x+2} > \frac{x+\log x}{2}$ は成立しません。

微分を求められたのは $f(x) = \log(1+x) - \frac{x}{x+2}$ であり、

$f'(x) = \frac{x^2 + 2x + 2}{(1+x)(x+2)^2}$　です。