$\cos^{-1}x = \sin^{-1}\frac{3}{4}$ を満たす $x$ を求める。

1. 問題の内容

$\cos^{-1}x = \sin^{-1}\frac{3}{4}$ を満たす $x$ を求める。

2. 解き方の手順

$\cos^{-1}x = \theta$ とおくと、$\cos \theta = x$ となる。

また、$\sin^{-1}\frac{3}{4} = \theta$ とおいているので、$\sin \theta = \frac{3}{4}$ となる。

$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ であるから、

$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - (\frac{3}{4})^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$

$\cos \theta = \pm\sqrt{\frac{7}{16}} = \pm\frac{\sqrt{7}}{4}$ となる。

ここで、$\cos^{-1}x$ の値域は $[0, \pi]$ であり、$\sin^{-1}\frac{3}{4}$ の値域は $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ である。

$\sin \theta = \frac{3}{4} > 0$ より、$\theta \in (0, \frac{\pi}{2})$ である。

したがって、$\cos \theta > 0$ であるから、$\cos \theta = \frac{\sqrt{7}}{4}$ となる。

$\cos \theta = x$ であったので、$x = \frac{\sqrt{7}}{4}$ となる。

3. 最終的な答え

$x = \frac{\sqrt{7}}{4}$