与えられた式は $\left(1+\frac{a}{\sqrt{n}}\right)^n$ です。この式について、特に $n$ が大きいときの挙動を考える問題である可能性があります。具体的に何をするかは不明ですが、ここでは $n$ が無限大に近づくときの極限を求めることを考えます。

1. 問題の内容

与えられた式は $\left(1+\frac{a}{\sqrt{n}}\right)^n$ です。この式について、特に $n$ が大きいときの挙動を考える問題である可能性があります。具体的に何をするかは不明ですが、ここでは $n$ が無限大に近づくときの極限を求めることを考えます。

2. 解き方の手順

この問題を解くには、自然対数の底 $e$ の定義を利用します。$e$ は以下の極限で定義されます。

$\lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n = e^x$

与えられた式 $\left(1+\frac{a}{\sqrt{n}}\right)^n$ を変形して、この形に近づけます。

まず、$\sqrt{n}=m$ とおくと、$n = m^2$となります。これにより、式は次のようになります。

$\left(1+\frac{a}{m}\right)^{m^2}$

これは、$\left[\left(1+\frac{a}{m}\right)^m\right]^m$ と書き直すことができます。

$m \to \infty$ のとき、$\left(1 + \frac{a}{m}\right)^m \to e^a$ となります。

したがって、$\lim_{m\to\infty} \left[\left(1+\frac{a}{m}\right)^m\right]^m = \lim_{m\to\infty} (e^a)^m = \lim_{m\to\infty} e^{am}$

$m = \sqrt{n}$ なので、

$\lim_{n\to\infty} e^{a\sqrt{n}} = e^{\lim_{n\to\infty} a\sqrt{n}}$

もし $a > 0$ ならば、$\lim_{n\to\infty} a\sqrt{n} = \infty$ なので、極限は $\infty$ に発散します。

もし $a = 0$ ならば、$\lim_{n\to\infty} a\sqrt{n} = 0$ なので、極限は $e^0 = 1$ になります。

もし $a < 0$ ならば、$\lim_{n\to\infty} a\sqrt{n} = -\infty$ なので、極限は $e^{-\infty} = 0$ になります。

ただし、問題文には具体的な指示がないため、ここでは $n$ が無限大に近づくときの極限を求める問題であると仮定して上記のように解きました。

3. 最終的な答え

もし $a > 0$ ならば、極限は $\infty$ に発散します。

もし $a = 0$ ならば、極限は $1$ になります。

もし $a < 0$ ならば、極限は $0$ になります。

$\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{a}{\sqrt{n}}\right)^n = \begin{cases} 0 & \text{if } a < 0 \\ 1 & \text{if } a = 0 \\ \infty & \text{if } a > 0 \end{cases}$