$0 < t \leq \frac{1}{2}$ の範囲で $t$ が変化するとき、放物線 $y = \frac{1}{2} \left( t + \frac{x(2-x)}{t} \right)$ が通る点 $(x,y)$ 全体の集合を図示せよ。

1. 問題の内容

$0 < t \leq \frac{1}{2}$ の範囲で $t$ が変化するとき、放物線 $y = \frac{1}{2} \left( t + \frac{x(2-x)}{t} \right)$ が通る点 $(x,y)$ 全体の集合を図示せよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を $t$ についての二次方程式の形に変形します。

$y = \frac{1}{2} \left( t + \frac{x(2-x)}{t} \right)$ より

$2y = t + \frac{x(2-x)}{t}$

$2yt = t^2 + x(2-x)$

$t^2 - 2yt + x(2-x) = 0$

この $t$ についての二次方程式が $0 < t \leq \frac{1}{2}$ の範囲に実数解を持つような $x, y$ の条件を求めます。

二次方程式 $at^2 + bt + c = 0$ が実数解を持つための条件は、判別式 $D = b^2 - 4ac \geq 0$ です。

この問題の場合、$a=1$, $b=-2y$, $c=x(2-x)$ なので、

$D = (-2y)^2 - 4(1)(x(2-x)) = 4y^2 - 4x(2-x) \geq 0$

$y^2 - x(2-x) \geq 0$

$y^2 \geq 2x - x^2$

$y^2 \geq -(x^2 - 2x)$

$y^2 \geq -(x^2 - 2x + 1 - 1)$

$y^2 \geq -(x-1)^2 + 1$

$y^2 + (x-1)^2 \geq 1$

次に、$t$ の範囲を考慮します。$t^2 - 2yt + x(2-x) = 0$ の解を $t$ とすると、解の公式より

$t = \frac{2y \pm \sqrt{4y^2 - 4x(2-x)}}{2} = y \pm \sqrt{y^2 - x(2-x)}$

$t = y \pm \sqrt{y^2 + (x-1)^2 - 1}$

条件 $0 < t \leq \frac{1}{2}$ を満たすためには、

$0 < y - \sqrt{y^2 + (x-1)^2 - 1} \leq \frac{1}{2}$ かつ $0 < y + \sqrt{y^2 + (x-1)^2 - 1} \leq \frac{1}{2}$

あるいは $0 < y - \sqrt{y^2 + (x-1)^2 - 1} \leq \frac{1}{2}$ または $0 < y + \sqrt{y^2 + (x-1)^2 - 1} \leq \frac{1}{2}$

である必要があります。

$y^2 + (x-1)^2 \geq 1$ より、円 $(x-1)^2 + y^2 = 1$ の外部または円周上です。

$0 < t \leq \frac{1}{2}$ という条件を考慮すると、求める領域は $(x-1)^2 + y^2 \geq 1$ と $t$ の条件から決まる領域との共通部分となります。

$t = y + \sqrt{y^2 - x(2-x)}$ と $t = y - \sqrt{y^2 - x(2-x)}$ の両方が、$0<t \leq \frac{1}{2}$ の範囲にある条件を考えると、

$x = 0$ のとき $y = \frac{t}{2} \leq \frac{1}{4}$ となり、

$x = 2$ のとき $y = \frac{t}{2} \leq \frac{1}{4}$ となる。

$x = 1$ のとき $y = \frac{1}{2} (t + \frac{1}{t})$ であり、$0 < t \leq \frac{1}{2}$ なので $y \geq \frac{5}{4}$ となります。

これらのことから領域を図示します。

3. 最終的な答え

求める領域は、円 $(x-1)^2 + y^2 = 1$ の外部で、$0 < t \leq \frac{1}{2}$ の条件を満たす領域。正確な図示は、上記の考察に基づき、領域の境界線を丁寧に描くことで得られます。特に、円 $(x-1)^2 + y^2 = 1$ と、tに関する不等式から定まる曲線との交点などを調べる必要があります。

領域の境界は、 $(x-1)^2 + y^2 = 1$ であり、$0 < t \leq \frac{1}{2}$ である条件が加わるため、領域を正確に特定するには、追加の計算またはグラフ作成ツールが必要となります。