次の3つの関数の増減を調べる問題です。 (1) $y = x + \sin x$ $(0 \le x \le 2\pi)$ (2) $y = e^x - x$ (3) $y = x - \log x$

1. 問題の内容

次の3つの関数の増減を調べる問題です。

(1) $y = x + \sin x$ $(0 \le x \le 2\pi)$

(2) $y = e^x - x$

(3) $y = x - \log x$

2. 解き方の手順

各関数の増減を調べるためには、まず導関数を求め、導関数の符号を調べます。導関数が正の区間では関数は増加し、負の区間では関数は減少します。

(1) $y = x + \sin x$ $(0 \le x \le 2\pi)$

* 導関数を求める:

$y' = 1 + \cos x$

* 導関数の符号を調べる:

$0 \le x \le 2\pi$ において、$-1 \le \cos x \le 1$ であるから、

$y' = 1 + \cos x \ge 0$

$y' = 0$ となるのは $\cos x = -1$ のとき、つまり $x = \pi$ のときです。

しかし、区間全体で$y'=0$となるわけではないので、$y'=1+cosx \ge 0$となります。

(2) $y = e^x - x$

* 導関数を求める:

$y' = e^x - 1$

* 導関数の符号を調べる:

$y' = 0$ となるのは $e^x = 1$ のとき、つまり $x = 0$ のときです。

$x < 0$ のとき、$e^x < 1$ より $y' < 0$

$x > 0$ のとき、$e^x > 1$ より $y' > 0$

(3) $y = x - \log x$

* 定義域を確認: $\log x$ が定義されるためには $x > 0$ である必要があります。

* 導関数を求める:

$y' = 1 - \frac{1}{x}$

* 導関数の符号を調べる:

$y' = 0$ となるのは $1 - \frac{1}{x} = 0$ のとき、つまり $x = 1$ のときです。

$0 < x < 1$ のとき、$\frac{1}{x} > 1$ より $y' < 0$

$x > 1$ のとき、$\frac{1}{x} < 1$ より $y' > 0$

3. 最終的な答え

(1) $y = x + \sin x$ $(0 \le x \le 2\pi)$:

常に増加する関数

(2) $y = e^x - x$:

$x < 0$ で減少、$x > 0$ で増加

(3) $y = x - \log x$:

$0 < x < 1$ で減少、$x > 1$ で増加