問題は2つあります。 (1) $\lim_{x \to +\infty} x \log(\frac{x-1}{x+1})$ の極限を求める。 (2) $n$が奇数のとき、$\sin x = \sum_{l=0}^{\frac{n-3}{2}} \frac{(-1)^l}{(2l+1)!} x^{2l+1} + \frac{\sin(\theta x + \frac{n\pi}{2})}{n!} x^n$ ($0<\theta<1$)である。$\sin \frac{1}{3}$の値を小数第4位まで正しく求める。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) $\lim_{x \to +\infty} x \log(\frac{x-1}{x+1})$ の極限を求める。

(2) $n$が奇数のとき、$\sin x = \sum_{l=0}^{\frac{n-3}{2}} \frac{(-1)^l}{(2l+1)!} x^{2l+1} + \frac{\sin(\theta x + \frac{n\pi}{2})}{n!} x^n$ ($0<\theta<1$)である。$\sin \frac{1}{3}$の値を小数第4位まで正しく求める。

2. 解き方の手順

(1)

$\lim_{x \to +\infty} x \log(\frac{x-1}{x+1})$ を求める。

まず、$\frac{x-1}{x+1} = \frac{1 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}}$ と変形する。

$t = \frac{1}{x}$ とおくと、$x \to +\infty$ のとき $t \to 0$ となる。

したがって、

$\lim_{x \to +\infty} x \log(\frac{x-1}{x+1}) = \lim_{t \to 0} \frac{1}{t} \log(\frac{1-t}{1+t}) = \lim_{t \to 0} \frac{\log(1-t) - \log(1+t)}{t}$

ここで、$\log(1+x)$ のマクローリン展開は $\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$ である。

$\log(1-t) = -t - \frac{t^2}{2} - \frac{t^3}{3} - \cdots$

$\log(1+t) = t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} - \cdots$

したがって、

$\log(1-t) - \log(1+t) = (-t - \frac{t^2}{2} - \frac{t^3}{3} - \cdots) - (t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} - \cdots) = -2t - \frac{2t^3}{3} - \cdots$

$\lim_{t \to 0} \frac{\log(1-t) - \log(1+t)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{-2t - \frac{2t^3}{3} - \cdots}{t} = \lim_{t \to 0} (-2 - \frac{2t^2}{3} - \cdots) = -2$

(2)

$\sin x = \sum_{l=0}^{\frac{n-3}{2}} \frac{(-1)^l}{(2l+1)!} x^{2l+1} + \frac{\sin(\theta x + \frac{n\pi}{2})}{n!} x^n$ において、$x = \frac{1}{3}$ のときの $\sin \frac{1}{3}$ の値を小数第4位まで求める。

$n=3$とすると$\sin x = x + \frac{\sin(\theta x + \frac{3\pi}{2})}{3!}x^3 = x - \frac{\cos(\theta x)}{6}x^3$

$n=5$とすると$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{\sin(\theta x + \frac{5\pi}{2})}{5!}x^5 = x - \frac{x^3}{6} + \frac{\cos(\theta x)}{120}x^5$

$x = \frac{1}{3}$ のとき、

$\sin \frac{1}{3} \approx \frac{1}{3} - \frac{(\frac{1}{3})^3}{6} = \frac{1}{3} - \frac{1}{6 \times 27} = \frac{1}{3} - \frac{1}{162} = \frac{54 - 1}{162} = \frac{53}{162} \approx 0.32716$

$\sin \frac{1}{3} \approx \frac{1}{3} - \frac{(\frac{1}{3})^3}{6} + \frac{(\frac{1}{3})^5}{120} = \frac{1}{3} - \frac{1}{162} + \frac{1}{120 \times 243} = \frac{1}{3} - \frac{1}{162} + \frac{1}{29160} \approx 0.32716 + 0.0000343 = 0.3271943$

$\sin \frac{1}{3}$ の実際の値は約0.327190。

したがって、小数第4位まで正しく求めると0.3272。

3. 最終的な答え

(1) -2

(2) 0.3272