与えられた2つの数列の和を計算し、それぞれの結果を箱で表された形で示す問題です。 一つ目の和は $\sum_{k=1}^{n} k \cdot (-2)^{k-1}$ であり、二つ目の和は $\sum_{k=1}^{n} (k+1) \cdot 3^{k-1}$ です。

1. 問題の内容

与えられた2つの数列の和を計算し、それぞれの結果を箱で表された形で示す問題です。

一つ目の和は $\sum_{k=1}^{n} k \cdot (-2)^{k-1}$ であり、二つ目の和は $\sum_{k=1}^{n} (k+1) \cdot 3^{k-1}$ です。

2. 解き方の手順

一つ目の和 $\sum_{k=1}^{n} k \cdot (-2)^{k-1}$ について考えます。

これは等比数列の和の微分形です。

$S = \sum_{k=1}^{n} x^k = \frac{x(1-x^n)}{1-x}$ を微分すると

$S' = \sum_{k=1}^{n} k x^{k-1} = \frac{(1-x)(1-(n+1)x^n) - x(1-x^n)(-1)}{(1-x)^2} = \frac{1-(n+1)x^n + nx^{n+1}}{(1-x)^2}$

ここで $x = -2$ を代入すると

$\sum_{k=1}^{n} k (-2)^{k-1} = \frac{1-(n+1)(-2)^n + n(-2)^{n+1}}{(1-(-2))^2} = \frac{1-(n+1)(-2)^n - 2n(-2)^n}{9} = \frac{1-(3n+1)(-2)^n}{9}$

したがって、$\sum_{k=1}^{n} k \cdot (-2)^{k-1} = \frac{1 + (3n+1)(-2)^n}{9}$ となります。

次に、二つ目の和 $\sum_{k=1}^{n} (k+1) \cdot 3^{k-1}$ について考えます。

$\sum_{k=1}^{n} (k+1) \cdot 3^{k-1} = \sum_{k=1}^{n} k \cdot 3^{k-1} + \sum_{k=1}^{n} 3^{k-1}$

$\sum_{k=1}^{n} 3^{k-1} = \sum_{k=0}^{n-1} 3^k = \frac{1-3^n}{1-3} = \frac{3^n-1}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} k \cdot 3^{k-1}$ について、$S' = \sum_{k=1}^{n} k x^{k-1} = \frac{1-(n+1)x^n + nx^{n+1}}{(1-x)^2}$ に $x = 3$ を代入すると

$\sum_{k=1}^{n} k \cdot 3^{k-1} = \frac{1-(n+1)3^n + n3^{n+1}}{(1-3)^2} = \frac{1-(n+1)3^n + 3n3^n}{4} = \frac{1 + (2n-1)3^n}{4}$

よって、

$\sum_{k=1}^{n} (k+1) \cdot 3^{k-1} = \frac{1 + (2n-1)3^n}{4} + \frac{3^n-1}{2} = \frac{1 + (2n-1)3^n + 2(3^n-1)}{4} = \frac{1 + (2n-1)3^n + 2 \cdot 3^n - 2}{4} = \frac{(2n+1)3^n - 1}{4}$

したがって、$\sum_{k=1}^{n} (k+1) \cdot 3^{k-1} = \frac{(2n+1)3^n - 1}{4}$ となります。

3. 最終的な答え

$\sum_{k=1}^{n} k \cdot (-2)^{k-1} = \frac{1 + (3n+1)(-2)^n}{9}$

$\sum_{k=1}^{n} (k+1) \cdot 3^{k-1} = \frac{(2n+1)3^n - 1}{4}$