$a < b$ のとき、$e^a < \frac{e^b - e^a}{b-a} < e^b$ を平均値の定理を用いて証明する。

1. 問題の内容

$a < b$ のとき、$e^a < \frac{e^b - e^a}{b-a} < e^b$ を平均値の定理を用いて証明する。

2. 解き方の手順

平均値の定理より、関数 $f(x)$ が閉区間 $[a, b]$ で連続、開区間 $(a, b)$ で微分可能であるとき、

$$\frac{f(b) - f(a)}{b-a} = f'(c)$$

を満たす $c$ が $a < c < b$ の範囲に存在する。

ここでは、$f(x) = e^x$ とおく。$f(x)$ は全ての $x$ で連続かつ微分可能である。

したがって、平均値の定理より、

$$\frac{e^b - e^a}{b-a} = e^c$$

を満たす $c$ が $a < c < b$ の範囲に存在する。

ここで、$a < c < b$ より、$e^x$ が単調増加関数であるから、

$$e^a < e^c < e^b$$

したがって、

$$e^a < \frac{e^b - e^a}{b-a} < e^b$$

3. 最終的な答え

$a < b$ のとき、$e^a < \frac{e^b - e^a}{b-a} < e^b$ が成り立つ。