関数 $f(x, y)$ が次のように定義されています。 $f(x, y) = \begin{cases} \frac{2x^3y - 3xy^3}{x^2 + y^2} + xy^3 & (x, y) \neq (0, 0) \\ c & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$ 定数 $c$ の値に応じて、以下の値を求める問題です。 (1) $c = 0$ のとき、$f_x(0, 0)$ と $f_y(0, 0)$ (2) $c = 1$ のとき、$f_x(0, 0)$ と $f_y(0, 0)$ (3) $c = 0$ のとき、$f_{xy}(0, 0)$ と $f_{yx}(0, 0)$

1. 問題の内容

関数 $f(x, y)$ が次のように定義されています。

$f(x, y) = \begin{cases}

\frac{2x^3y - 3xy^3}{x^2 + y^2} + xy^3 & (x, y) \neq (0, 0) \\

c & (x, y) = (0, 0)

\end{cases}$

定数 $c$ の値に応じて、以下の値を求める問題です。

(1) $c = 0$ のとき、$f_x(0, 0)$ と $f_y(0, 0)$

(2) $c = 1$ のとき、$f_x(0, 0)$ と $f_y(0, 0)$

(3) $c = 0$ のとき、$f_{xy}(0, 0)$ と $f_{yx}(0, 0)$

2. 解き方の手順

(1) $c = 0$ のとき、$f_x(0, 0)$ と $f_y(0, 0)$ を求めます。

偏導関数の定義より、

$f_x(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h, 0) - f(0, 0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{0}{h^2} + 0 - 0}{h} = 0$

$f_y(0, 0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0, k) - f(0, 0)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{\frac{0}{k^2} + 0 - 0}{k} = 0$

(2) $c = 1$ のとき、$f_x(0, 0)$ と $f_y(0, 0)$ を求めます。

偏導関数の定義より、

$f_x(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h, 0) - f(0, 0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{0}{h^2} + 0 - 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{h}$

この極限は存在しないので、$f_x(0, 0)$ は存在しません。同様に、$f_y(0, 0)$ も存在しません。厳密に存在しないことを示すためには、左極限と右極限が一致しないことを示す必要があります。

仮に、$f_x(0, 0)$と$f_y(0,0)$ が存在するものとして、存在しないと解答します。

(3) $c = 0$ のとき、$f_{xy}(0, 0)$ と $f_{yx}(0, 0)$ を求めます。

まず、$f_x(x, y)$ を $(x, y) \neq (0, 0)$ で計算します。

$f_x(x, y) = \frac{(6x^2y - 3y^3)(x^2 + y^2) - (2x^3y - 3xy^3)(2x)}{(x^2 + y^2)^2} + y^3 + xy^2 = \frac{2x^4y + 12x^2y^3 + y^5}{(x^2+y^2)^2} + y^3$

次に、$f_y(x, y)$ を $(x, y) \neq (0, 0)$ で計算します。

$f_y(x, y) = \frac{(2x^3 - 9xy^2)(x^2 + y^2) - (2x^3y - 3xy^3)(2y)}{(x^2 + y^2)^2} + 3xy^2 = \frac{2x^5 - 3x^3y^2 - 9xy^4}{(x^2+y^2)^2} + 3xy^2$

$f_x(0, y) = y$ と $f_y(x, 0) = x$となることに注意する.

よって、$f_{xy}(0, 0) = \lim_{k \to 0} \frac{f_x(0, k) - f_x(0, 0)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{k - 0}{k} = 1$

同様に、$f_{yx}(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f_y(h, 0) - f_y(0, 0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h - 0}{h} = 1$

3. 最終的な答え

(1) $f_x(0, 0) = 0$, $f_y(0, 0) = 0$

(2) $f_x(0, 0)$ は存在しない, $f_y(0, 0)$ は存在しない

(3) $f_{xy}(0, 0) = 1$, $f_{yx}(0, 0) = 1$