与えられた8つの関数をそれぞれ微分せよ。

はい、承知しました。与えられた関数の微分を計算します。

1. 問題の内容

与えられた8つの関数をそれぞれ微分せよ。

2. 解き方の手順

各関数について、以下の微分公式を適用して微分します。

* $(x^n)' = nx^{n-1}$

* $(c)' = 0$ (cは定数)

* $(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$

* $(cf(x))' = cf'(x)$ (cは定数)

* 積の微分公式: $(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$

* 商の微分公式: $(\frac{f(x)}{g(x)})' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}$

* 合成関数の微分公式：$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

(1) $y = x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 4x + 1$

$y' = 4x^3 - 9x^2 + 4x - 4$

(2) $s = \frac{t^2 - 2t + 2}{2} = \frac{1}{2}t^2 - t + 1$

$\frac{ds}{dt} = t - 1$

(3) $y = (x^2 + 3)(2x - 1)$

$y' = (2x)(2x - 1) + (x^2 + 3)(2) = 4x^2 - 2x + 2x^2 + 6 = 6x^2 - 2x + 6$

(4) $s = \frac{2}{t^3} + \frac{2t - 1}{t + 1} = 2t^{-3} + \frac{2t - 1}{t + 1}$

$\frac{ds}{dt} = -6t^{-4} + \frac{(2)(t + 1) - (2t - 1)(1)}{(t + 1)^2} = -\frac{6}{t^4} + \frac{2t + 2 - 2t + 1}{(t + 1)^2} = -\frac{6}{t^4} + \frac{3}{(t + 1)^2}$

(5) $y = \frac{x^2 + 2x - 2}{\sqrt{x}} = \frac{x^2 + 2x - 2}{x^{1/2}}$

$y = x^{3/2} + 2x^{1/2} - 2x^{-1/2}$

$y' = \frac{3}{2}x^{1/2} + x^{-1/2} + x^{-3/2} = \frac{3}{2}\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x\sqrt{x}}$

(6) $s = \frac{1}{t\sqrt{t}} = \frac{1}{t^{3/2}} = t^{-3/2}$

$\frac{ds}{dt} = -\frac{3}{2}t^{-5/2} = -\frac{3}{2t^{5/2}} = -\frac{3}{2t^2\sqrt{t}}$

(7) $y = (3x - 2)^4$

$y' = 4(3x - 2)^3 \cdot 3 = 12(3x - 2)^3$

(8) $s = \sqrt[3]{3t - 4} = (3t - 4)^{1/3}$

$\frac{ds}{dt} = \frac{1}{3}(3t - 4)^{-2/3} \cdot 3 = (3t - 4)^{-2/3} = \frac{1}{(3t - 4)^{2/3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{(3t - 4)^2}}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = 4x^3 - 9x^2 + 4x - 4$

(2) $\frac{ds}{dt} = t - 1$

(3) $y' = 6x^2 - 2x + 6$

(4) $\frac{ds}{dt} = -\frac{6}{t^4} + \frac{3}{(t + 1)^2}$

(5) $y' = \frac{3}{2}\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x\sqrt{x}}$

(6) $\frac{ds}{dt} = -\frac{3}{2t^2\sqrt{t}}$

(7) $y' = 12(3x - 2)^3$

(8) $\frac{ds}{dt} = \frac{1}{\sqrt[3]{(3t - 4)^2}}$