$\lim_{k \to 0} (1+k)^{\frac{1}{k}} = e$ を用いて、次の極限を求めます。 $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x}$

1. 問題の内容

$\lim_{k \to 0} (1+k)^{\frac{1}{k}} = e$ を用いて、次の極限を求めます。

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x}$

2. 解き方の手順

$\log(1+x)$のテイラー展開を利用します。$x$が0に近いとき、$\log(1+x) \approx x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$です。

したがって、

$\frac{\log(1+x)}{x} \approx \frac{x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots}{x} = 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \cdots$

$x \to 0$のとき、$\frac{\log(1+x)}{x}$は1に近づきます。

別の解法として、ロピタルの定理を使うことができます。

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x}$は$\frac{0}{0}$の不定形なので、ロピタルの定理を適用できます。分子と分母をそれぞれ微分すると、

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1+x}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{1+x} = \frac{1}{1+0} = 1$

3. 最終的な答え

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