次の極限を求めます。 $\lim_{x \to a} \frac{x^2 \sin a - a^2 \sin x}{x-a}$

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

$\lim_{x \to a} \frac{x^2 \sin a - a^2 \sin x}{x-a}$

2. 解き方の手順

まず、分子を変形します。

$x^2 \sin a - a^2 \sin x = x^2 \sin a - a^2 \sin a + a^2 \sin a - a^2 \sin x = (x^2 - a^2) \sin a - a^2 (\sin x - \sin a)$

したがって、

$\lim_{x \to a} \frac{x^2 \sin a - a^2 \sin x}{x-a} = \lim_{x \to a} \frac{(x^2 - a^2) \sin a - a^2 (\sin x - \sin a)}{x-a}$

$= \lim_{x \to a} \frac{(x-a)(x+a) \sin a - a^2 (\sin x - \sin a)}{x-a}$

$= \lim_{x \to a} \left( (x+a) \sin a - a^2 \frac{\sin x - \sin a}{x-a} \right)$

ここで、$\lim_{x \to a} \frac{\sin x - \sin a}{x-a} = \frac{d}{dx} \sin x |_{x=a} = \cos a$ なので、

$= (a+a) \sin a - a^2 \cos a$

$= 2a \sin a - a^2 \cos a$

3. 最終的な答え

$2a \sin a - a^2 \cos a$