## 問題の解答

## 問題の解答

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1. 問題の内容

与えられた問題は、以下の2つの部分から構成されています。

* **27**: 複数の関数の極限値を求める問題です。 具体的には、(1) から (8) までの極限を計算します。

* **28**: 関数 $f(x) = 2x^2 - 3x$ に関する3つの問題です。

(1) $f(x)$ の1から3までの平均変化率を求めます。

(2) $f(x)$ の $x=a$ における微分係数 $f'(a)$ を定義に従って求めます。

(3) 関数 $y=f(x)$ のグラフ上の点 (1, -1) における接線の傾きを求めます。

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2. 解き方の手順

まず問題27を解きます。

(1) $\lim_{x \to \frac{\pi}{6}} \sin x$

$x$ が $\frac{\pi}{6}$ に近づくとき、$\sin x$ は $\sin \frac{\pi}{6}$ に近づきます。

$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$

(2) $\lim_{x \to -1} 2^x (\sin \pi x + \cos \pi x)$

$x$ が -1 に近づくとき、$2^x$ は $2^{-1}$ に近づきます。

$\sin (-\pi) = 0$

$\cos (-\pi) = -1$

したがって、$\lim_{x \to -1} 2^x (\sin \pi x + \cos \pi x) = 2^{-1} (0 + (-1)) = -\frac{1}{2}$

(3) $\lim_{x \to -1} \frac{x^2 - x - 2}{x + 1}$

分子を因数分解します。

$x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$

したがって、$\lim_{x \to -1} \frac{(x - 2)(x + 1)}{x + 1} = \lim_{x \to -1} (x - 2) = -1 - 2 = -3$

(4) $\lim_{x \to -1} \frac{x^2 - x - 2}{x + 1}$

問題(3)と同じ関数なので、答えは -3

(5) $\lim_{x \to -1} \frac{x^2 - x - 2}{2x^2 + 3x + 1}$

分子を因数分解します。

$x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$

分母を因数分解します。

$2x^2 + 3x + 1 = (2x + 1)(x + 1)$

したがって、$\lim_{x \to -1} \frac{(x - 2)(x + 1)}{(2x + 1)(x + 1)} = \lim_{x \to -1} \frac{x - 2}{2x + 1} = \frac{-1 - 2}{2(-1) + 1} = \frac{-3}{-1} = 3$

(6) $\lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 - x - 2}{2x^2 + 3x + 1}$

分子と分母を $x^2$ で割ります。

$\lim_{x \to -\infty} \frac{1 - \frac{1}{x} - \frac{2}{x^2}}{2 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}$

$x \to -\infty$ のとき、$\frac{1}{x} \to 0$ および $\frac{1}{x^2} \to 0$ となるので、

$\lim_{x \to -\infty} \frac{1 - \frac{1}{x} - \frac{2}{x^2}}{2 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} = \frac{1 - 0 - 0}{2 + 0 + 0} = \frac{1}{2}$

(7) $\lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{2x^2 - 1}}{x}$

$x < 0$ なので、$x = -\sqrt{x^2}$ であることに注意します。

$\lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{2x^2 - 1}}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{x^2(2 - \frac{1}{x^2})}}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{|x|\sqrt{2 - \frac{1}{x^2}}}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-x\sqrt{2 - \frac{1}{x^2}}}{x} = \lim_{x \to -\infty} -\sqrt{2 - \frac{1}{x^2}} = -\sqrt{2 - 0} = -\sqrt{2}$

(8) $\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2 + 2x + 2} - x)$

$\sqrt{x^2 + 2x + 2} - x = \frac{(\sqrt{x^2 + 2x + 2} - x)(\sqrt{x^2 + 2x + 2} + x)}{\sqrt{x^2 + 2x + 2} + x} = \frac{(x^2 + 2x + 2) - x^2}{\sqrt{x^2 + 2x + 2} + x} = \frac{2x + 2}{\sqrt{x^2 + 2x + 2} + x}$

分子と分母を $x$ で割ります。

$\frac{2x + 2}{\sqrt{x^2 + 2x + 2} + x} = \frac{2 + \frac{2}{x}}{\frac{\sqrt{x^2 + 2x + 2}}{x} + 1}$

ここで、$x < 0$ より、$\frac{\sqrt{x^2 + 2x + 2}}{x} = \frac{\sqrt{x^2 + 2x + 2}}{-\sqrt{x^2}} = -\sqrt{\frac{x^2 + 2x + 2}{x^2}} = -\sqrt{1 + \frac{2}{x} + \frac{2}{x^2}}$

したがって、$\lim_{x \to -\infty} \frac{2 + \frac{2}{x}}{-\sqrt{1 + \frac{2}{x} + \frac{2}{x^2}} + 1} = \frac{2 + 0}{-\sqrt{1 + 0 + 0} + 1} = \frac{2}{-1 + 1} = \frac{2}{0}$

これは定義できないため、$\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2 + 2x + 2} - x) = \infty$.

次に問題28を解きます。

(1) $f(x)$ の1から3までの平均変化率

平均変化率は $\frac{f(3) - f(1)}{3 - 1}$ で求められます。

$f(x) = 2x^2 - 3x$

$f(3) = 2(3^2) - 3(3) = 18 - 9 = 9$

$f(1) = 2(1^2) - 3(1) = 2 - 3 = -1$

$\frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{9 - (-1)}{3 - 1} = \frac{10}{2} = 5$

(2) $f(x)$ の $x=a$ における微分係数 $f'(a)$ を定義に従って求めます。

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$

$f(a + h) = 2(a + h)^2 - 3(a + h) = 2(a^2 + 2ah + h^2) - 3a - 3h = 2a^2 + 4ah + 2h^2 - 3a - 3h$

$f(a) = 2a^2 - 3a$

$f(a + h) - f(a) = (2a^2 + 4ah + 2h^2 - 3a - 3h) - (2a^2 - 3a) = 4ah + 2h^2 - 3h$

$\frac{f(a + h) - f(a)}{h} = \frac{4ah + 2h^2 - 3h}{h} = 4a + 2h - 3$

$f'(a) = \lim_{h \to 0} (4a + 2h - 3) = 4a - 3$

(3) 関数 $y=f(x)$ のグラフ上の点 (1, -1) における接線の傾きを求めます。

接線の傾きは $f'(1)$ で求められます。

$f'(a) = 4a - 3$

$f'(1) = 4(1) - 3 = 4 - 3 = 1$

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3. 最終的な答え

**問題27**

(1) $\frac{1}{2}$

(2) $-\frac{1}{2}$

(3) $-3$

(4) $-3$

(5) $3$

(6) $\frac{1}{2}$

(7) $-\sqrt{2}$

(8) $-\infty$

**問題28**

(1) 5

(2) $f'(a) = 4a - 3$

(3) 1