問題29は与えられた関数を微分する問題です。問題30は与えられた極限を求める問題です。 問題29 (1) $y = x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 4x + 1$ を微分する。 (2) $s = \frac{t^2 - 2t + 2}{2}$ を微分する。 (3) $y = (x^2 + 3)(2x - 1)$ を微分する。 問題30 (1) $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin 4\theta}{3\theta}$ を求める。

はい、承知いたしました。問題の指示に従い、画像を基に問題29の(1), (2), (3)と問題30の(1)を解きます。

1. 問題の内容

問題29は与えられた関数を微分する問題です。問題30は与えられた極限を求める問題です。

問題29

(1) $y = x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 4x + 1$ を微分する。

(2) $s = \frac{t^2 - 2t + 2}{2}$ を微分する。

(3) $y = (x^2 + 3)(2x - 1)$ を微分する。

問題30

(1) $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin 4\theta}{3\theta}$ を求める。

2. 解き方の手順

問題29 (1)

$y = x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 4x + 1$ の微分

各項を微分します。

$\frac{d}{dx} (x^4) = 4x^3$

$\frac{d}{dx} (-3x^3) = -9x^2$

$\frac{d}{dx} (2x^2) = 4x$

$\frac{d}{dx} (-4x) = -4$

$\frac{d}{dx} (1) = 0$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 4x^3 - 9x^2 + 4x - 4$

問題29 (2)

$s = \frac{t^2 - 2t + 2}{2}$ の微分

$s = \frac{1}{2}t^2 - t + 1$ と変形できます。

$\frac{d}{dt} (\frac{1}{2}t^2) = t$

$\frac{d}{dt} (-t) = -1$

$\frac{d}{dt} (1) = 0$

したがって、

$\frac{ds}{dt} = t - 1$

問題29 (3)

$y = (x^2 + 3)(2x - 1)$ の微分

積の微分法を使います。 $(uv)' = u'v + uv'$

$u = x^2 + 3$, $v = 2x - 1$

$u' = 2x$, $v' = 2$

$\frac{dy}{dx} = (2x)(2x - 1) + (x^2 + 3)(2) = 4x^2 - 2x + 2x^2 + 6 = 6x^2 - 2x + 6$

問題30 (1)

$\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin 4\theta}{3\theta}$

$\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ を利用します。

$\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin 4\theta}{3\theta} = \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin 4\theta}{4\theta} \cdot \frac{4\theta}{3\theta} = \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin 4\theta}{4\theta} \cdot \frac{4}{3} = 1 \cdot \frac{4}{3} = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

問題29

(1) $\frac{dy}{dx} = 4x^3 - 9x^2 + 4x - 4$

(2) $\frac{ds}{dt} = t - 1$

(3) $\frac{dy}{dx} = 6x^2 - 2x + 6$

問題30

(1) $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin 4\theta}{3\theta} = \frac{4}{3}$