## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題、および極限を求める問題です。具体的には以下の通りです。

* **22 (1)**: $y = x^2 \log x$ の微分

* **22 (2)**: $y = \log (4x + 3)$ の微分

* **22 (3)**: $y = \log (-2x)$ の微分

* **23 (1)**: $y = 3^x$ の微分

* **23 (2)**: $y = (\frac{1}{2})^x$ の微分

* **24 (1)**: $y = \log_3 x$ の微分

* **24 (2)**: $y = \log_2 (3x - 1)$ の微分

* **25 (1)**: $y = \log |4x + 1|$ の微分

* **25 (2)**: $y = \log |1 - x|$ の微分

* **26 (1)**: $\lim_{h \to 0} (1 + 3h)^{1/h}$ の計算

* **26 (2)**: $\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{2}{x})^x$ の計算

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2. 解き方の手順

**22 (1)**: $y = x^2 \log x$

* 積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を使用します。

* $u = x^2$, $v = \log x$ とすると、$u' = 2x$, $v' = \frac{1}{x}$ となります。

* よって、$y' = 2x \log x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \log x + x = x(2\log x + 1)$

**22 (2)**: $y = \log (4x + 3)$

* 合成関数の微分法を使用します。

* $y' = \frac{1}{4x + 3} \cdot (4x + 3)' = \frac{1}{4x + 3} \cdot 4 = \frac{4}{4x + 3}$

**22 (3)**: $y = \log (-2x)$

* 合成関数の微分法を使用します。

* $y' = \frac{1}{-2x} \cdot (-2x)' = \frac{1}{-2x} \cdot (-2) = \frac{1}{x}$

**23 (1)**: $y = 3^x$

* 指数の微分公式 $(a^x)' = a^x \log a$ を使用します。

* $y' = 3^x \log 3$

**23 (2)**: $y = (\frac{1}{2})^x$

* 指数の微分公式 $(a^x)' = a^x \log a$ を使用します。

* $y' = (\frac{1}{2})^x \log (\frac{1}{2}) = -(\frac{1}{2})^x \log 2$

**24 (1)**: $y = \log_3 x$

* 底の変換公式 $\log_a x = \frac{\log x}{\log a}$ を用いて $y = \frac{\log x}{\log 3}$ と変形します。

* $y' = \frac{1}{\log 3} \cdot (\log x)' = \frac{1}{\log 3} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \log 3}$

**24 (2)**: $y = \log_2 (3x - 1)$

* 底の変換公式 $\log_a x = \frac{\log x}{\log a}$ を用いて $y = \frac{\log (3x - 1)}{\log 2}$ と変形します。

* $y' = \frac{1}{\log 2} \cdot \frac{1}{3x - 1} \cdot (3x - 1)' = \frac{1}{\log 2} \cdot \frac{1}{3x - 1} \cdot 3 = \frac{3}{(3x - 1) \log 2}$

**25 (1)**: $y = \log |4x + 1|$

* 絶対値の中身が正の場合 ($4x + 1 > 0$)、$y = \log (4x + 1)$。

* 絶対値の中身が負の場合 ($4x + 1 < 0$)、$y = \log -(4x + 1)$。

* いずれの場合も、$y' = \frac{4}{4x + 1}$

**25 (2)**: $y = \log |1 - x|$

* 絶対値の中身が正の場合 ($1 - x > 0$)、$y = \log (1 - x)$。

* 絶対値の中身が負の場合 ($1 - x < 0$)、$y = \log -(1 - x)$。

* いずれの場合も、$y' = \frac{-1}{1 - x} = \frac{1}{x - 1}$

**26 (1)**: $\lim_{h \to 0} (1 + 3h)^{1/h}$

* $\lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} = e$ の形を利用します。

* $3h = x$ と置くと、$h = x/3$。 $h \to 0$ のとき $x \to 0$。

* $\lim_{h \to 0} (1 + 3h)^{1/h} = \lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{3}{x}} = \lim_{x \to 0} [(1 + x)^{1/x}]^3 = e^3$

**26 (2)**: $\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{2}{x})^x$

* $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{a}{x})^x = e^a$ の形を利用します。

* $\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{2}{x})^x = e^{-2}$

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3. 最終的な答え

* **22 (1)**: $y' = x(2\log x + 1)$

* **22 (2)**: $y' = \frac{4}{4x + 3}$

* **22 (3)**: $y' = \frac{1}{x}$

* **23 (1)**: $y' = 3^x \log 3$

* **23 (2)**: $y' = -(\frac{1}{2})^x \log 2$

* **24 (1)**: $y' = \frac{1}{x \log 3}$

* **24 (2)**: $y' = \frac{3}{(3x - 1) \log 2}$

* **25 (1)**: $y' = \frac{4}{4x + 1}$

* **25 (2)**: $y' = \frac{1}{x - 1}$

* **26 (1)**: $e^3$

* **26 (2)**: $e^{-2}$