与えられた関数 $y = \log{\frac{(x+2)^3}{(2x+1)^2}}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \log{\frac{(x+2)^3}{(2x+1)^2}}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を用いて関数を簡単にします。

$\log{\frac{A}{B}} = \log{A} - \log{B}$ と $\log{A^n} = n \log{A}$ を利用します。

$y = \log((x+2)^3) - \log((2x+1)^2)$

$y = 3\log(x+2) - 2\log(2x+1)$

次に、微分を行います。$\frac{d}{dx} \log(x) = \frac{1}{x}$ であることを利用します。

$\frac{dy}{dx} = 3 \frac{d}{dx} \log(x+2) - 2 \frac{d}{dx} \log(2x+1)$

合成関数の微分を適用します。

$\frac{d}{dx} \log(x+2) = \frac{1}{x+2} \cdot \frac{d}{dx}(x+2) = \frac{1}{x+2} \cdot 1 = \frac{1}{x+2}$

$\frac{d}{dx} \log(2x+1) = \frac{1}{2x+1} \cdot \frac{d}{dx}(2x+1) = \frac{1}{2x+1} \cdot 2 = \frac{2}{2x+1}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 3 \cdot \frac{1}{x+2} - 2 \cdot \frac{2}{2x+1}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{x+2} - \frac{4}{2x+1}$

通分して整理します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{3(2x+1) - 4(x+2)}{(x+2)(2x+1)}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{6x + 3 - 4x - 8}{(x+2)(2x+1)}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x - 5}{(x+2)(2x+1)}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x - 5}{2x^2 + 5x + 2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x - 5}{2x^2 + 5x + 2}$