与えられた微分方程式は $y' + 2x^2y = 0$ です。これは1階線形同次微分方程式です。

## 問題の解答

画像に示された微分方程式を解きます。

画像には複数の問題がありますが、それぞれ解いていきます。

### (i) $y' + 2x^2y = 0$

1. 問題の内容

与えられた微分方程式は $y' + 2x^2y = 0$ です。これは1階線形同次微分方程式です。

2. 解き方の手順

この微分方程式は変数分離法で解くことができます。

まず、$y' = \frac{dy}{dx}$と書き換えます。

$\frac{dy}{dx} + 2x^2y = 0$

次に、変数を分離します。

$\frac{dy}{y} = -2x^2 dx$

両辺を積分します。

$\int \frac{dy}{y} = \int -2x^2 dx$

$\ln|y| = -\frac{2}{3}x^3 + C_1$

両辺の指数を取ります。

$|y| = e^{-\frac{2}{3}x^3 + C_1} = e^{C_1}e^{-\frac{2}{3}x^3}$

$y = Ce^{-\frac{2}{3}x^3}$ (ただし、$C = \pm e^{C_1}$)

3. 最終的な答え

$y = Ce^{-\frac{2}{3}x^3}$

### (j) $y' + 2xy^2 = 0$

1. 問題の内容

与えられた微分方程式は $y' + 2xy^2 = 0$ です。これは変数分離可能な非線形微分方程式です。

2. 解き方の手順

まず、$y' = \frac{dy}{dx}$と書き換えます。

$\frac{dy}{dx} + 2xy^2 = 0$

次に、変数を分離します。

$\frac{dy}{y^2} = -2x dx$

両辺を積分します。

$\int \frac{dy}{y^2} = \int -2x dx$

$-\frac{1}{y} = -x^2 + C_1$

$\frac{1}{y} = x^2 - C_1$

$y = \frac{1}{x^2 + C}$ (ただし、$C = -C_1$)

3. 最終的な答え

$y = \frac{1}{x^2 + C}$

### (k) $y' - 2x^2y^2 = 0$

1. 問題の内容

与えられた微分方程式は $y' - 2x^2y^2 = 0$ です。これは変数分離可能な非線形微分方程式です。

2. 解き方の手順

まず、$y' = \frac{dy}{dx}$と書き換えます。

$\frac{dy}{dx} - 2x^2y^2 = 0$

次に、変数を分離します。

$\frac{dy}{y^2} = 2x^2 dx$

両辺を積分します。

$\int \frac{dy}{y^2} = \int 2x^2 dx$

$-\frac{1}{y} = \frac{2}{3}x^3 + C_1$

$\frac{1}{y} = -\frac{2}{3}x^3 - C_1$

$y = \frac{1}{-\frac{2}{3}x^3 + C}$ (ただし、$C = -C_1$)

3. 最終的な答え

$y = \frac{1}{-\frac{2}{3}x^3 + C}$

### (l) $y' + e^xy = 0$

1. 問題の内容

与えられた微分方程式は $y' + e^xy = 0$ です。これは1階線形同次微分方程式です。

2. 解き方の手順

この微分方程式は変数分離法で解くことができます。

まず、$y' = \frac{dy}{dx}$と書き換えます。

$\frac{dy}{dx} + e^xy = 0$

次に、変数を分離します。

$\frac{dy}{y} = -e^x dx$

両辺を積分します。

$\int \frac{dy}{y} = \int -e^x dx$

$\ln|y| = -e^x + C_1$

両辺の指数を取ります。

$|y| = e^{-e^x + C_1} = e^{C_1}e^{-e^x}$

$y = Ce^{-e^x}$ (ただし、$C = \pm e^{C_1}$)

3. 最終的な答え

$y = Ce^{-e^x}$

### (m) $y' + \sin(\omega x) y = 0$

1. 問題の内容

与えられた微分方程式は $y' + \sin(\omega x) y = 0$ です。これは1階線形同次微分方程式です。

2. 解き方の手順

この微分方程式は変数分離法で解くことができます。

まず、$y' = \frac{dy}{dx}$と書き換えます。

$\frac{dy}{dx} + \sin(\omega x) y = 0$

次に、変数を分離します。

$\frac{dy}{y} = -\sin(\omega x) dx$

両辺を積分します。

$\int \frac{dy}{y} = \int -\sin(\omega x) dx$

$\ln|y| = \frac{1}{\omega}\cos(\omega x) + C_1$

両辺の指数を取ります。

$|y| = e^{\frac{1}{\omega}\cos(\omega x) + C_1} = e^{C_1}e^{\frac{1}{\omega}\cos(\omega x)}$

$y = Ce^{\frac{1}{\omega}\cos(\omega x)}$ (ただし、$C = \pm e^{C_1}$)

3. 最終的な答え

$y = Ce^{\frac{1}{\omega}\cos(\omega x)}$

### (n) $y' - \frac{y}{\sin x} = 0$

1. 問題の内容

与えられた微分方程式は $y' - \frac{y}{\sin x} = 0$ です。これは1階線形同次微分方程式です。

2. 解き方の手順

この微分方程式は変数分離法で解くことができます。

まず、$y' = \frac{dy}{dx}$と書き換えます。

$\frac{dy}{dx} - \frac{y}{\sin x} = 0$

次に、変数を分離します。

$\frac{dy}{y} = \frac{dx}{\sin x}$

両辺を積分します。

$\int \frac{dy}{y} = \int \csc x dx$

$\ln|y| = -\ln|\csc x + \cot x| + C_1$

$\ln|y| = \ln|\frac{1}{\csc x + \cot x}| + C_1$

$y = C\frac{1}{\csc x + \cot x}$

$y = C(\csc x - \cot x)$ （恒等式 $\csc^2x - \cot^2x=1$ を使用）

または

$y = C \tan(\frac{x}{2})$

3. 最終的な答え

$y = C \tan(\frac{x}{2})$

### (o) $y' + \tan(x) y = 0$

1. 問題の内容

与えられた微分方程式は $y' + \tan(x) y = 0$ です。これは1階線形同次微分方程式です。

2. 解き方の手順

この微分方程式は変数分離法で解くことができます。

まず、$y' = \frac{dy}{dx}$と書き換えます。

$\frac{dy}{dx} + \tan(x) y = 0$

次に、変数を分離します。

$\frac{dy}{y} = -\tan(x) dx$

両辺を積分します。

$\int \frac{dy}{y} = \int -\tan(x) dx$

$\ln|y| = \ln|\cos(x)| + C_1$

$y = C\cos(x)$

3. 最終的な答え

$y = C\cos(x)$

### (p) $y' + \ln(x) y = 0$

1. 問題の内容

与えられた微分方程式は $y' + \ln(x) y = 0$ です。これは1階線形同次微分方程式です。

2. 解き方の手順

この微分方程式は変数分離法で解くことができます。

まず、$y' = \frac{dy}{dx}$と書き換えます。

$\frac{dy}{dx} + \ln(x) y = 0$

次に、変数を分離します。

$\frac{dy}{y} = -\ln(x) dx$

両辺を積分します。

$\int \frac{dy}{y} = \int -\ln(x) dx$

$\int \ln(x) dx = x\ln(x) - x + C_2$ (部分積分を使用)

$\ln|y| = -x\ln(x) + x + C_1$

$y = Ce^{-x\ln(x) + x}$

$y = C e^{x(1-\ln(x))}$

3. 最終的な答え

$y = Ce^{x(1-\ln(x))}$