関数 $y = e^{3x}$ を微分します。

はい、承知いたしました。画像に写っている問題のうち、20番の関数の微分と、21番の対数の値を求める問題について、それぞれ解答します。

**20番 (1) $y = e^{3x}$**

1. 問題の内容

関数 $y = e^{3x}$ を微分します。

2. 解き方の手順

合成関数の微分法を用います。$u = 3x$ とおくと、$y = e^u$ となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = e^u$

$\frac{du}{dx} = 3$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = e^u \cdot 3 = 3e^{3x}$

3. 最終的な答え

$y' = 3e^{3x}$

**20番 (2) $y = xe^x$**

1. 問題の内容

関数 $y = xe^x$ を微分します。

2. 解き方の手順

積の微分法を用います。$(uv)' = u'v + uv'$

$u = x$, $v = e^x$ とおくと、

$u' = 1$, $v' = e^x$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x + xe^x = (1+x)e^x$

3. 最終的な答え

$y' = (1+x)e^x$

**20番 (3) $y = e^x \cos x$**

1. 問題の内容

関数 $y = e^x \cos x$ を微分します。

2. 解き方の手順

積の微分法を用います。$(uv)' = u'v + uv'$

$u = e^x$, $v = \cos x$ とおくと、

$u' = e^x$, $v' = -\sin x$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = e^x \cos x + e^x (-\sin x) = e^x(\cos x - \sin x)$

3. 最終的な答え

$y' = e^x (\cos x - \sin x)$

**20番 (4) $y = e^x \tan x$**

1. 問題の内容

関数 $y = e^x \tan x$ を微分します。

2. 解き方の手順

積の微分法を用います。$(uv)' = u'v + uv'$

$u = e^x$, $v = \tan x$ とおくと、

$u' = e^x$, $v' = \frac{1}{\cos^2 x}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = e^x \tan x + e^x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = e^x \left( \tan x + \frac{1}{\cos^2 x} \right)$

3. 最終的な答え

$y' = e^x \left( \tan x + \frac{1}{\cos^2 x} \right)$

**20番 (5) $y = e^{2x} \sin 3x$**

1. 問題の内容

関数 $y = e^{2x} \sin 3x$ を微分します。

2. 解き方の手順

積の微分法と合成関数の微分法を用います。$(uv)' = u'v + uv'$

$u = e^{2x}$, $v = \sin 3x$ とおくと、

$u' = 2e^{2x}$, $v' = 3\cos 3x$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 2e^{2x} \sin 3x + e^{2x} (3\cos 3x) = e^{2x} (2\sin 3x + 3\cos 3x)$

3. 最終的な答え

$y' = e^{2x} (2\sin 3x + 3\cos 3x)$

**20番 (6) $y = e^{2x} \tan 3x$**

1. 問題の内容

関数 $y = e^{2x} \tan 3x$ を微分します。

2. 解き方の手順

積の微分法と合成関数の微分法を用います。$(uv)' = u'v + uv'$

$u = e^{2x}$, $v = \tan 3x$ とおくと、

$u' = 2e^{2x}$, $v' = \frac{3}{\cos^2 3x}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 2e^{2x} \tan 3x + e^{2x} \cdot \frac{3}{\cos^2 3x} = e^{2x} \left( 2\tan 3x + \frac{3}{\cos^2 3x} \right)$

3. 最終的な答え

$y' = e^{2x} \left( 2\tan 3x + \frac{3}{\cos^2 3x} \right)$

**20番 (7) $y = \frac{e^x}{x^2}$**

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{e^x}{x^2}$ を微分します。

2. 解き方の手順

商の微分法を用います。$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

$u = e^x$, $v = x^2$ とおくと、

$u' = e^x$, $v' = 2x$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{e^x \cdot x^2 - e^x \cdot 2x}{(x^2)^2} = \frac{x^2e^x - 2xe^x}{x^4} = \frac{xe^x (x - 2)}{x^4} = \frac{e^x(x-2)}{x^3}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{e^x(x-2)}{x^3}$

**20番 (8) $y = \frac{x}{e^x}$**

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{x}{e^x}$ を微分します。

2. 解き方の手順

商の微分法を用います。$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

$u = x$, $v = e^x$ とおくと、

$u' = 1$, $v' = e^x$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1 \cdot e^x - x \cdot e^x}{(e^x)^2} = \frac{e^x - xe^x}{e^{2x}} = \frac{e^x(1-x)}{e^{2x}} = \frac{1-x}{e^x}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{1-x}{e^x}$

**20番 (9) $y = \frac{1}{\sqrt[3]{e^x}} = (e^x)^{-\frac{1}{3}} = e^{-\frac{x}{3}}$**

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{\sqrt[3]{e^x}}$ を微分します。

2. 解き方の手順

合成関数の微分法を用います。$u = -\frac{x}{3}$ とおくと、$y = e^u$ となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = e^u$

$\frac{du}{dx} = -\frac{1}{3}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = e^u \cdot (-\frac{1}{3}) = -\frac{1}{3}e^{-\frac{x}{3}} = -\frac{1}{3\sqrt[3]{e^x}}$

3. 最終的な答え

$y' = -\frac{1}{3}e^{-\frac{x}{3}} = -\frac{1}{3\sqrt[3]{e^x}}$

**20番 (10) $y = \frac{x}{\sqrt{e^x}} = \frac{x}{e^{\frac{x}{2}}} = xe^{-\frac{x}{2}}$**

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{x}{\sqrt{e^x}}$ を微分します。

2. 解き方の手順

積の微分法と合成関数の微分法を用います。$(uv)' = u'v + uv'$

$u = x$, $v = e^{-\frac{x}{2}}$ とおくと、

$u' = 1$, $v' = -\frac{1}{2}e^{-\frac{x}{2}}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 1 \cdot e^{-\frac{x}{2}} + x \cdot (-\frac{1}{2}e^{-\frac{x}{2}}) = e^{-\frac{x}{2}} - \frac{x}{2}e^{-\frac{x}{2}} = e^{-\frac{x}{2}} (1 - \frac{x}{2}) = \frac{2-x}{2\sqrt{e^x}}$

3. 最終的な答え

$y' = e^{-\frac{x}{2}} (1 - \frac{x}{2}) = \frac{2-x}{2\sqrt{e^x}}$

**21番 (1) $\log e^2$**

1. 問題の内容

$\log e^2$ の値を求めます。ここで、$\log$ は自然対数を表すと仮定します。

2. 解き方の手順

対数の性質 $\log a^b = b \log a$ を用います。

$\log e^2 = 2 \log e$

自然対数の底 $e$ に対して、$\log e = 1$ なので、

$\log e^2 = 2 \cdot 1 = 2$

3. 最終的な答え

$\log e^2 = 2$

**21番 (2) $\log \frac{1}{e^3}$**

1. 問題の内容

$\log \frac{1}{e^3}$ の値を求めます。ここで、$\log$ は自然対数を表すと仮定します。

2. 解き方の手順

対数の性質 $\log \frac{1}{a} = -\log a$ と $\log a^b = b \log a$ を用います。

$\log \frac{1}{e^3} = - \log e^3 = -3 \log e$

自然対数の底 $e$ に対して、$\log e = 1$ なので、

$\log \frac{1}{e^3} = -3 \cdot 1 = -3$

3. 最終的な答え

$\log \frac{1}{e^3} = -3$

**21番 (3) $\log \frac{1}{\sqrt{e}}$**

1. 問題の内容

$\log \frac{1}{\sqrt{e}}$ の値を求めます。ここで、$\log$ は自然対数を表すと仮定します。

2. 解き方の手順

対数の性質 $\log \frac{1}{a} = -\log a$ と $\log a^b = b \log a$ を用います。$\sqrt{e} = e^{\frac{1}{2}}$

$\log \frac{1}{\sqrt{e}} = -\log \sqrt{e} = -\log e^{\frac{1}{2}} = -\frac{1}{2}\log e$

自然対数の底 $e$ に対して、$\log e = 1$ なので、

$\log \frac{1}{\sqrt{e}} = -\frac{1}{2} \cdot 1 = -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\log \frac{1}{\sqrt{e}} = -\frac{1}{2}$