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$y' = \frac{(x^2 + 1) - x(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$

解析学極値微分関数の増減対数関数三角関数指数関数
2025/6/14
## 問題の内容
次の関数の極値を求めます。
(1) y=xx2+1y = \frac{x}{x^2 + 1}
(2) y=sin⁡2x+2sin⁡x(0<x<2π)y = \sin^2 x + 2\sin x \quad (0 < x < 2\pi)
(3) y=x2log⁡xy = x^2 \log x
(4) y=xe−xy = xe^{-x}
## 解き方の手順
### (1) y=xx2+1y = \frac{x}{x^2 + 1}

1. **微分:** $y$ を $x$ で微分します。

y′=(x2+1)−x(2x)(x2+1)2=1−x2(x2+1)2y' = \frac{(x^2 + 1) - x(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}

2. **$y' = 0$ となる $x$ を求める:**

1−x2(x2+1)2=0\frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2} = 0 より 1−x2=01 - x^2 = 0 となるので、 x=±1x = \pm 1 です。

3. **増減表:**

| x | ... | -1 | ... | 1 | ... |
| ---- | ---- | --- | --- | --- | --- |
| y' | - | 0 | + | 0 | - |
| y | ↓ | | ↑ | | ↓ |

4. **極値の計算:**

x=−1x = -1 のとき、 y=−1(−1)2+1=−12y = \frac{-1}{(-1)^2 + 1} = -\frac{1}{2} (極小値)
x=1x = 1 のとき、 y=112+1=12y = \frac{1}{1^2 + 1} = \frac{1}{2} (極大値)
### (2) y=sin⁡2x+2sin⁡x(0<x<2π)y = \sin^2 x + 2\sin x \quad (0 < x < 2\pi)

1. **微分:** $y$ を $x$ で微分します。

y′=2sin⁡xcos⁡x+2cos⁡x=2cos⁡x(sin⁡x+1)y' = 2\sin x \cos x + 2\cos x = 2\cos x(\sin x + 1)

2. **$y' = 0$ となる $x$ を求める:**

2cos⁡x(sin⁡x+1)=02\cos x(\sin x + 1) = 0 より、 cos⁡x=0\cos x = 0 または sin⁡x=−1\sin x = -1 となります。
0<x<2π0 < x < 2\pi の範囲で、cos⁡x=0\cos x = 0 となるのは x=π2,3π2x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} です。
sin⁡x=−1\sin x = -1 となるのは x=3π2x = \frac{3\pi}{2} です。
したがって、x=π2,3π2x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} が候補となります。

3. **増減表:**

| x | 0 | ... | π2\frac{\pi}{2} | ... | 3π2\frac{3\pi}{2} | ... | 2π2\pi |
| ---- | --- | ----- | --------------- | ----- | --------------- | ----- | ----- |
| y' | | + | 0 | - | 0 | + | |
| y | | ↑ | | ↓ | | ↑ | |

4. **極値の計算:**

x=π2x = \frac{\pi}{2} のとき、 y=sin⁡2(π2)+2sin⁡(π2)=12+2(1)=3y = \sin^2 (\frac{\pi}{2}) + 2\sin(\frac{\pi}{2}) = 1^2 + 2(1) = 3 (極大値)
x=3π2x = \frac{3\pi}{2} のとき、 y=sin⁡2(3π2)+2sin⁡(3π2)=(−1)2+2(−1)=1−2=−1y = \sin^2 (\frac{3\pi}{2}) + 2\sin(\frac{3\pi}{2}) = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1 (極小値)
### (3) y=x2log⁡xy = x^2 \log x

1. **定義域:** $\log x$ が定義されるためには、$x > 0$ である必要があります。

2. **微分:** $y$ を $x$ で微分します。

y′=2xlog⁡x+x2⋅1x=2xlog⁡x+x=x(2log⁡x+1)y' = 2x \log x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \log x + x = x(2\log x + 1)

3. **$y' = 0$ となる $x$ を求める:**

x(2log⁡x+1)=0x(2\log x + 1) = 0 より、x=0x=0 または 2log⁡x+1=02\log x + 1 = 0 となります。
x>0x > 0 より x=0x=0 は不適です。
2log⁡x+1=02\log x + 1 = 0 を解くと、log⁡x=−12\log x = -\frac{1}{2} なので、x=e−12=1ex = e^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{e}} です。

4. **増減表:**

| x | 0 | ... | 1e\frac{1}{\sqrt{e}} | ... |
| ---- | --- | ----- | --------------------- | ----- |
| y' | | - | 0 | + |
| y | | ↓ | | ↑ |

5. **極値の計算:**

x=1ex = \frac{1}{\sqrt{e}} のとき、 y=(1e)2log⁡(1e)=1e⋅(−12)=−12ey = (\frac{1}{\sqrt{e}})^2 \log(\frac{1}{\sqrt{e}}) = \frac{1}{e} \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2e} (極小値)
### (4) y=xe−xy = xe^{-x}

1. **微分:** $y$ を $x$ で微分します。

y′=e−x+x(−e−x)=e−x−xe−x=e−x(1−x)y' = e^{-x} + x(-e^{-x}) = e^{-x} - xe^{-x} = e^{-x}(1 - x)

2. **$y' = 0$ となる $x$ を求める:**

e−x(1−x)=0e^{-x}(1 - x) = 0 より、1−x=01 - x = 0 となるので、x=1x = 1 です。（e−xe^{-x} は常に正なので）

3. **増減表:**

| x | ... | 1 | ... |
| ---- | ---- | --- | --- |
| y' | + | 0 | - |
| y | ↑ | | ↓ |

4. **極値の計算:**

x=1x = 1 のとき、 y=1⋅e−1=1ey = 1 \cdot e^{-1} = \frac{1}{e} (極大値)
## 最終的な答え
(1) 極大値: 12\frac{1}{2} (x=1), 極小値: −12-\frac{1}{2} (x=-1)
(2) 極大値: 33 (x=π2\frac{\pi}{2}), 極小値: −1-1 (x=3π2\frac{3\pi}{2})
(3) 極小値: −12e-\frac{1}{2e} (x=1e\frac{1}{\sqrt{e}})
(4) 極大値: 1e\frac{1}{e} (x=1)

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