与えられた10個の極限の値を、選択肢の中から選び出す問題です。選択肢は以下の通りです。 1. $-\infty$

はい、承知いたしました。それでは、画像にある極限の問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

与えられた10個の極限の値を、選択肢の中から選び出す問題です。選択肢は以下の通りです。

1. $-\infty$

2. -2

3. -1

4. 0

5. 1

6. 2

7. $\infty$

8. 極限は存在しない

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{n \to \infty} 3(-2)^{-n}$

$n$が自然数であることに注意すると、$(-2)^{-n} = \frac{1}{(-2)^n}$です。

$n$が偶数のとき、$\frac{1}{(-2)^n} = \frac{1}{2^n}$

$n$が奇数のとき、$\frac{1}{(-2)^n} = -\frac{1}{2^n}$

いずれにしても、$n \to \infty$のとき、$\frac{1}{2^n} \to 0$となるので、極限は0に収束します。

(2) $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x - 2}$

分子を因数分解すると、$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$となるので、

$\frac{x^2 - 5x + 6}{x - 2} = \frac{(x - 2)(x - 3)}{x - 2} = x - 3$

したがって、$\lim_{x \to 2} (x - 3) = 2 - 3 = -1$

(3) $\lim_{n \to \infty} (4^n - 3^n)$

$4^n$で括ると、$4^n(1 - (\frac{3}{4})^n)$となり、$n \to \infty$のとき$(\frac{3}{4})^n \to 0$なので、

$\lim_{n \to \infty} 4^n(1 - (\frac{3}{4})^n) = \infty$

(4) $\lim_{x \to +0} \log x$

$x$が正の方向から0に近づくとき、$\log x$は$-\infty$に発散します。

(5) $\lim_{x \to -5} (\sqrt{x + 4} - \sqrt{-x - 4})$

$x = -5$を代入すると、$\sqrt{-5 + 4} - \sqrt{-(-5) - 4} = \sqrt{-1} - \sqrt{1}$となります。

$\sqrt{-1}$は虚数単位$i$ですので、$\sqrt{-1} - \sqrt{1} = i - 1$ となります。

極限は存在しないと考えられます。

(6) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$を利用すると、$\frac{\sin 2x}{x} = 2 \frac{\sin 2x}{2x}$

したがって、$\lim_{x \to 0} 2 \frac{\sin 2x}{2x} = 2 \cdot 1 = 2$

(7) $\lim_{n \to \infty} \frac{(\frac{1}{2})^n}{4^n + 3^n}$

分子は0に近づき、分母は$\infty$に発散するので、極限は0です。

(8) $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{2k}{n^2}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$を利用すると、

$\sum_{k=1}^{n} \frac{2k}{n^2} = \frac{2}{n^2} \sum_{k=1}^{n} k = \frac{2}{n^2} \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n^2 + n}{n^2} = 1 + \frac{1}{n}$

したがって、$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n}) = 1$

(9) $\lim_{n \to \infty} \cos \frac{2n - 1}{2} \pi$

$\cos \frac{2n - 1}{2} \pi = \cos (n \pi - \frac{\pi}{2}) = \cos (n \pi) \cos (\frac{\pi}{2}) + \sin (n \pi) \sin (\frac{\pi}{2}) = 0$

したがって、$\lim_{n \to \infty} 0 = 0$

(10) $\lim_{x \to 1-0} \frac{x^2 - x}{|x - 1|}$

$x \to 1 - 0$ということは、$x < 1$なので、$x - 1 < 0$より、$|x - 1| = -(x - 1) = 1 - x$

$\frac{x^2 - x}{|x - 1|} = \frac{x(x - 1)}{1 - x} = -x$

したがって、$\lim_{x \to 1 - 0} -x = -1$

3. 最終的な答え

(1) 4

(2) 3

(3) 7

(4) 1

(5) 8

(6) 6

(7) 4

(8) 5

(9) 4

(10) 3