与えられた関数 $f(x) = \frac{2\cos^2x + 6\sin^2x}{\cos^4x}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = \frac{2\cos^2x + 6\sin^2x}{\cos^4x}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を整理します。

$f(x) = \frac{2\cos^2x + 6\sin^2x}{\cos^4x} = \frac{2\cos^2x + 2\sin^2x + 4\sin^2x}{\cos^4x} = \frac{2(\cos^2x + \sin^2x) + 4\sin^2x}{\cos^4x}$

三角関数の恒等式 $\cos^2x + \sin^2x = 1$ を用いると、

$f(x) = \frac{2 + 4\sin^2x}{\cos^4x}$

$f(x) = \frac{2}{\cos^4x} + \frac{4\sin^2x}{\cos^4x} = 2\sec^4x + 4\frac{\sin^2x}{\cos^2x}\cdot\frac{1}{\cos^2x} = 2\sec^4x + 4\tan^2x\sec^2x$

ここで、$f(x)$ を微分します。

$\frac{d}{dx}(\sec x) = \sec x \tan x$

$\frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x$

$\frac{d}{dx}(2\sec^4x) = 2\cdot4\sec^3x\cdot(\sec x \tan x) = 8\sec^4x \tan x$

$\frac{d}{dx}(4\tan^2x\sec^2x) = 4(2\tan x \sec^2x \cdot \sec^2x + \tan^2x \cdot 2\sec x \sec x \tan x) = 8\tan x \sec^4x + 8 \tan^3x \sec^2x$

したがって、

$f'(x) = 8\sec^4x \tan x + 8\tan x \sec^4x + 8\tan^3x \sec^2x = 16\sec^4x \tan x + 8\tan^3x \sec^2x$

$f'(x) = 8\sec^2x\tan x(2\sec^2x + \tan^2x) = 8\sec^2x\tan x(2(1 + \tan^2x) + \tan^2x) = 8\sec^2x\tan x(2 + 3\tan^2x)$

3. 最終的な答え

$f'(x) = 8\sec^2x \tan x(2 + 3\tan^2x)$