次の関数を微分せよ：$y = \frac{x}{e^x}$

はい、承知いたしました。画像の問題の中から、20-(8)の問題を解いてみます。

1. 問題の内容

次の関数を微分せよ：$y = \frac{x}{e^x}$

2. 解き方の手順

この関数を微分するには、商の微分法を使用します。商の微分法とは、$u$と$v$が$x$の関数であるとき、$\frac{u}{v}$の微分は次のようになります。

$\frac{d}{dx} (\frac{u}{v}) = \frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{dx}}{v^2}$

この問題では、$u = x$ および $v = e^x$ です。

したがって、

$\frac{du}{dx} = 1$

$\frac{dv}{dx} = e^x$

これらの値を商の微分法の公式に代入すると、次のようになります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{e^x \cdot 1 - x \cdot e^x}{(e^x)^2}$

これを簡略化すると、次のようになります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{e^x - xe^x}{e^{2x}}$

さらに簡略化するには、$e^x$を分子からくくりだします。

$\frac{dy}{dx} = \frac{e^x(1-x)}{e^{2x}}$

最後に、$e^x$を分子と分母から約分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1-x}{e^{x}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{1-x}{e^{x}}$