極限 $\lim_{x \to \infty} x (\tan^{-1} x - \frac{\pi}{2})$ を求めます。問題文には、この極限は $\lim_{x \to \infty} \frac{\tan^{-1} x - \frac{\pi}{2}}{\frac{1}{x}}$ と等しいと書かれています。

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to \infty} x (\tan^{-1} x - \frac{\pi}{2})$ を求めます。問題文には、この極限は $\lim_{x \to \infty} \frac{\tan^{-1} x - \frac{\pi}{2}}{\frac{1}{x}}$ と等しいと書かれています。

2. 解き方の手順

この極限は不定形 $\frac{0}{0}$ の形をしているため、ロピタルの定理を使用できます。

まず、$\tan^{-1} x$ の微分を計算します。 $\frac{d}{dx} \tan^{-1} x = \frac{1}{1+x^2}$ です。

次に、$\frac{1}{x}$ の微分を計算します。$\frac{d}{dx} \frac{1}{x} = -\frac{1}{x^2}$ です。

したがって、ロピタルの定理を適用すると、

$\lim_{x \to \infty} \frac{\tan^{-1} x - \frac{\pi}{2}}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1+x^2}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{-x^2}{1+x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{-1}{\frac{1}{x^2}+1} = \frac{-1}{0+1} = -1$

3. 最終的な答え

-1