$y = x^2 \sin x$ のマクローリン級数を求めよ。

1. 問題の内容

$y = x^2 \sin x$ のマクローリン級数を求めよ。

2. 解き方の手順

$\sin x$ のマクローリン級数は以下の通りです。

$\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$

$y = x^2 \sin x$ のマクローリン級数は、$\sin x$ のマクローリン級数に $x^2$ を掛けることで得られます。

$y = x^2 \sin x = x^2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+3}}{(2n+1)!}$

よって、

$y = x^2 \sin x = x^3 - \frac{x^5}{3!} + \frac{x^7}{5!} - \frac{x^9}{7!} + \cdots$

3. 最終的な答え

$x^2 \sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+3}}{(2n+1)!}$

または

$x^3 - \frac{x^5}{3!} + \frac{x^7}{5!} - \frac{x^9}{7!} + \cdots$