問題は、次の2つの関数のグラフの概形を描くことです。 (1) $y = x + \frac{1}{x}$ (2) $y = \frac{x^2 - 3x + 4}{2x - 2}$

1. 問題の内容

問題は、次の2つの関数のグラフの概形を描くことです。

(1) $y = x + \frac{1}{x}$

(2) $y = \frac{x^2 - 3x + 4}{2x - 2}$

2. 解き方の手順

(1) $y = x + \frac{1}{x}$ の場合：

1. 定義域を確認します。$x \neq 0$ なので、y軸が漸近線になります。

2. 導関数を計算します。

$y' = 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2}$

3. $y' = 0$ となる $x$ を求めます。$x^2 - 1 = 0$ より、$x = \pm 1$

4. $y''$ を計算します。

$y'' = \frac{2}{x^3}$

5. 増減表を作成します。

- $x < -1$ のとき、$y' > 0$, $y'' < 0$ (増加、上に凸)

- $x = -1$ のとき、$y = -2$ (極大値)

- $-1 < x < 0$ のとき、$y' < 0$, $y'' < 0$ (減少、上に凸)

- $0 < x < 1$ のとき、$y' < 0$, $y'' > 0$ (減少、下に凸)

- $x = 1$ のとき、$y = 2$ (極小値)

- $x > 1$ のとき、$y' > 0$, $y'' > 0$ (増加、下に凸)

6. $\lim_{x \to \infty} (y - x) = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$ なので、$y = x$ が漸近線になります。

7. グラフの概形を描きます。

(2) $y = \frac{x^2 - 3x + 4}{2x - 2}$ の場合：

1. 定義域を確認します。$2x - 2 \neq 0$ より、$x \neq 1$ なので、$x = 1$ で垂直漸近線になります。

2. 割り算を行います。

$y = \frac{1}{2}x - 1 + \frac{3}{2x - 2}$

3. $\lim_{x \to \infty} (y - (\frac{1}{2}x - 1)) = \lim_{x \to \infty} \frac{3}{2x - 2} = 0$ なので、$y = \frac{1}{2}x - 1$ が漸近線になります。

4. 導関数を計算します。

$y' = \frac{(2x - 3)(2x - 2) - 2(x^2 - 3x + 4)}{(2x - 2)^2} = \frac{2x^2 - 4x - 2}{(2x - 2)^2} = \frac{x^2 - 2x - 1}{2(x - 1)^2}$

5. $y' = 0$ となる $x$ を求めます。$x^2 - 2x - 1 = 0$ より、$x = 1 \pm \sqrt{2}$

6. 増減表を作成します。

- $x < 1 - \sqrt{2}$ のとき、$y' > 0$ (増加)

- $x = 1 - \sqrt{2}$ のとき、$y = \frac{(1 - \sqrt{2})^2 - 3(1 - \sqrt{2}) + 4}{2(1 - \sqrt{2}) - 2} = \frac{1 - 2\sqrt{2} + 2 - 3 + 3\sqrt{2} + 4}{-2\sqrt{2}} = \frac{4 + \sqrt{2}}{-2\sqrt{2}} = -1 - \frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = -2 - \frac{\sqrt{2}}{2}$ (極大値)

- $1 - \sqrt{2} < x < 1$ のとき、$y' < 0$ (減少)

- $1 < x < 1 + \sqrt{2}$ のとき、$y' < 0$ (減少)

- $x = 1 + \sqrt{2}$ のとき、$y = \frac{(1 + \sqrt{2})^2 - 3(1 + \sqrt{2}) + 4}{2(1 + \sqrt{2}) - 2} = \frac{1 + 2\sqrt{2} + 2 - 3 - 3\sqrt{2} + 4}{2\sqrt{2}} = \frac{4 - \sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2} - 1}{2} = \frac{3}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}$(極小値)

- $x > 1 + \sqrt{2}$ のとき、$y' > 0$ (増加)

7. グラフの概形を描きます。

3. 最終的な答え

グラフの概形を描く問題なので、最終的な答えはグラフの概形となります。（ここでは図を添付することはできません。）上記の解き方の手順に従ってグラフを描いてください。