以下の不定積分を計算します。 $\int \frac{2x+3}{\sqrt{x^2+3x-4}} dx$

1. 問題の内容

以下の不定積分を計算します。

$\int \frac{2x+3}{\sqrt{x^2+3x-4}} dx$

2. 解き方の手順

まず、被積分関数の分子を分母の根号の中の式の微分形に合わせることを考えます。根号の中の式を $u = x^2+3x-4$ と置くと、その微分は $du = (2x+3)dx$ となります。したがって、与えられた積分は

$\int \frac{2x+3}{\sqrt{x^2+3x-4}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{u}} du$

と書き換えることができます。これは、

$\int u^{-1/2} du$

と表され、この積分は

$\frac{u^{1/2}}{1/2} + C = 2\sqrt{u} + C$

となります。ここで、$C$ は積分定数です。最後に、$u$ を $x$ の式に戻すと、

$2\sqrt{x^2+3x-4} + C$

が得られます。

3. 最終的な答え

$2\sqrt{x^2+3x-4} + C$