与えられた2つの関数の極値を求めます。 (1) $f(x) = |x|\sqrt{x+3}$ (2) $f(x) = |x^2 - 4| + 2x$

1. 問題の内容

与えられた2つの関数の極値を求めます。

(1) $f(x) = |x|\sqrt{x+3}$

(2) $f(x) = |x^2 - 4| + 2x$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = |x|\sqrt{x+3}$ について

まず、$x+3 \geq 0$ より、$x \geq -3$ である必要があります。

$f(x)$ を場合分けして考えます。

$x \geq 0$ のとき、$f(x) = x\sqrt{x+3}$

$-3 \leq x < 0$ のとき、$f(x) = -x\sqrt{x+3}$

$x \geq 0$ のとき、$f'(x) = \sqrt{x+3} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+3}} = \sqrt{x+3} + \frac{x}{2\sqrt{x+3}} = \frac{2(x+3)+x}{2\sqrt{x+3}} = \frac{3x+6}{2\sqrt{x+3}}$

$f'(x) = 0$ となるのは、$3x+6 = 0$ より、$x = -2$。これは、$x \geq 0$ を満たさないので、$x \geq 0$ において極値は存在しない。

$x=0$における微分可能性を調べる。

$\lim_{x \to +0} f'(x) = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \sqrt{3}$

$-3 < x < 0$ のとき、$f'(x) = -\sqrt{x+3} - x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+3}} = -\sqrt{x+3} - \frac{x}{2\sqrt{x+3}} = \frac{-2(x+3)-x}{2\sqrt{x+3}} = \frac{-3x-6}{2\sqrt{x+3}}$

$f'(x) = 0$ となるのは、$-3x-6 = 0$ より、$x = -2$。これは、$-3 < x < 0$ を満たす。

このとき、$f(-2) = -(-2)\sqrt{-2+3} = 2\sqrt{1} = 2$。

$x=-3$のとき、$f(-3)=0$

$x=0$のとき、$f(0)=0$

$f'(x)$ の符号を調べる。

$-3 < x < -2$ のとき、$f'(x) > 0$

$-2 < x < 0$ のとき、$f'(x) < 0$

よって、$x=-2$ で極大値2をとる。

$x=-3$ で極小値0をとる。

$x=0$ で極小値0をとる。

(2) $f(x) = |x^2 - 4| + 2x$ について

$x^2-4 \geq 0$ のとき、$x \leq -2$ または $x \geq 2$ のとき、$f(x) = x^2 - 4 + 2x = x^2 + 2x - 4$

$x^2-4 < 0$ のとき、$-2 < x < 2$ のとき、$f(x) = -(x^2 - 4) + 2x = -x^2 + 4 + 2x = -x^2 + 2x + 4$

$x \leq -2$ または $x \geq 2$ のとき、$f'(x) = 2x + 2$

$f'(x) = 0$ となるのは、$2x+2 = 0$ より、$x = -1$。これは、$x \leq -2$ または $x \geq 2$ を満たさない。

$-2 < x < 2$ のとき、$f'(x) = -2x + 2$

$f'(x) = 0$ となるのは、$-2x+2 = 0$ より、$x = 1$。これは、$-2 < x < 2$ を満たす。

このとき、$f(1) = -1^2 + 2(1) + 4 = -1 + 2 + 4 = 5$。

$x=-2$ のとき、$f(-2) = |-2^2 - 4| + 2(-2) = 0 - 4 = -4$

$x=2$ のとき、$f(2) = |2^2 - 4| + 2(2) = 0 + 4 = 4$

$f'(-2-0)=2(-2)+2=-2<0, f'(-2+0)=-2(-2)+2=6>0$ よって、$x=-2$で極小値$f(-2)=-4$

$f'(2-0)=-2(2)+2=-2<0, f'(2+0)=2(2)+2=6>0$ よって、$x=2$で極小値$f(2)=4$

$f(1)=5$ は極大値。

3. 最終的な答え

(1) $x=-2$ で極大値 2, $x=-3, 0$ で極小値 0

(2) $x=1$ で極大値 5, $x=-2$ で極小値 -4, $x=2$ で極小値 4