次の2つの曲線について、凹凸を調べ、変曲点があれば求める。 (1) $y = x^4 + 2x^3 + 1$ (2) $y = xe^x$

1. 問題の内容

次の2つの曲線について、凹凸を調べ、変曲点があれば求める。

(1) $y = x^4 + 2x^3 + 1$

(2) $y = xe^x$

2. 解き方の手順

(1) $y = x^4 + 2x^3 + 1$の場合：

まず、第1次導関数と第2次導関数を求める。

$y' = 4x^3 + 6x^2$

$y'' = 12x^2 + 12x = 12x(x+1)$

次に、$y'' = 0$となる$x$の値を求める。

$12x(x+1) = 0$より、$x = 0, -1$

$y''$の符号の変化を調べる。

- $x < -1$のとき、$y'' > 0$（下に凸）

- $-1 < x < 0$のとき、$y'' < 0$（上に凸）

- $x > 0$のとき、$y'' > 0$（下に凸）

したがって、変曲点は$x = -1, 0$のときである。それぞれの$y$座標は、

$x = -1$のとき、$y = (-1)^4 + 2(-1)^3 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0$

$x = 0$のとき、$y = 0^4 + 2(0)^3 + 1 = 1$

よって、変曲点は$(-1, 0)$と$(0, 1)$である。

(2) $y = xe^x$の場合：

まず、第1次導関数と第2次導関数を求める。

$y' = e^x + xe^x = (x+1)e^x$

$y'' = e^x + (x+1)e^x = (x+2)e^x$

次に、$y'' = 0$となる$x$の値を求める。

$(x+2)e^x = 0$より、$x = -2$（$e^x$は常に正であるため）。

$y''$の符号の変化を調べる。

- $x < -2$のとき、$y'' < 0$（上に凸）

- $x > -2$のとき、$y'' > 0$（下に凸）

したがって、変曲点は$x = -2$のときである。$y$座標は、

$x = -2$のとき、$y = -2e^{-2}$

よって、変曲点は$(-2, -2e^{-2})$である。

3. 最終的な答え

(1) 凹凸：$x < -1$のとき下に凸、$-1 < x < 0$のとき上に凸、$x > 0$のとき下に凸。変曲点：$(-1, 0), (0, 1)$

(2) 凹凸：$x < -2$のとき上に凸、$x > -2$のとき下に凸。変曲点：$(-2, -2e^{-2})$