問題53について、以下の4つの問題を解きます。 (1) $\sin^{-1}\frac{1}{2}$, $\cos^{-1}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, $\tan^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ の値をそれぞれ求める。 (2) $\sin^{-1}(-x) = -\sin^{-1}x$ を示す。 (3) $\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1}x$ を示す。 (4) $\sin^{-1}x + \cos^{-1}x = \frac{\pi}{2}$ を示す。

1. 問題の内容

問題53について、以下の4つの問題を解きます。

(1) $\sin^{-1}\frac{1}{2}$, $\cos^{-1}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, $\tan^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ の値をそれぞれ求める。

(2) $\sin^{-1}(-x) = -\sin^{-1}x$ を示す。

(3) $\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1}x$ を示す。

(4) $\sin^{-1}x + \cos^{-1}x = \frac{\pi}{2}$ を示す。

2. 解き方の手順

(1)

$\sin^{-1}\frac{1}{2}$: $\sin \theta = \frac{1}{2}$ となる $\theta$ を求める。$\theta$ の範囲は $-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$。よって、$\theta = \frac{\pi}{6}$。

$\cos^{-1}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$: $\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ を求める。$\theta$ の範囲は $0 \le \theta \le \pi$。よって、$\theta = \frac{5\pi}{6}$。

$\tan^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$: $\tan \theta = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ となる $\theta$ を求める。$\theta$ の範囲は $-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$。よって、$\theta = -\frac{\pi}{6}$。

(2)

$y = \sin^{-1}x$ とおく。このとき、 $x = \sin y$ であり、$-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$ である。

$\sin(-y) = -\sin y = -x$ より、 $-y = \sin^{-1}(-x)$ となる。

したがって、$\sin^{-1}(-x) = -y = -\sin^{-1}x$。

(3)

$y = \cos^{-1}x$ とおく。このとき、$x = \cos y$ であり、$0 \le y \le \pi$ である。

$\cos(\pi - y) = -\cos y = -x$ より、$\pi - y = \cos^{-1}(-x)$ となる。

したがって、$\cos^{-1}(-x) = \pi - y = \pi - \cos^{-1}x$。

(4)

$y = \sin^{-1}x$ とおく。このとき、$x = \sin y$ であり、$-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$ である。

$\cos\left(\frac{\pi}{2} - y\right) = \sin y = x$ より、$\frac{\pi}{2} - y = \cos^{-1}x$ となる。

したがって、$\sin^{-1}x + \cos^{-1}x = y + \frac{\pi}{2} - y = \frac{\pi}{2}$。

3. 最終的な答え

(1)

$\sin^{-1}\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$

$\cos^{-1}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{5\pi}{6}$

$\tan^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -\frac{\pi}{6}$

(2) $\sin^{-1}(-x) = -\sin^{-1}x$

(3) $\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1}x$

(4) $\sin^{-1}x + \cos^{-1}x = \frac{\pi}{2}$