与えられた2つの曲線について、凹凸を調べる問題です。 (1) $y = x^4 - 2x^2 + 1$ (2) $y = x + \cos(2x) \quad (0 \le x \le \pi)$

1. 問題の内容

与えられた2つの曲線について、凹凸を調べる問題です。

(1) $y = x^4 - 2x^2 + 1$

(2) $y = x + \cos(2x) \quad (0 \le x \le \pi)$

2. 解き方の手順

曲線の凹凸を調べるには、2階微分を計算し、その符号を調べます。

2階微分が正の区間では下に凸、負の区間では上に凸となります。

(1) $y = x^4 - 2x^2 + 1$

1階微分:

$y' = 4x^3 - 4x$

2階微分:

$y'' = 12x^2 - 4$

$y'' = 0$ となる $x$ を求めます。

$12x^2 - 4 = 0$

$12x^2 = 4$

$x^2 = \frac{1}{3}$

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

増減表（凹凸表）を作成します。

| x | $x < -\frac{\sqrt{3}}{3}$ | $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ | $-\frac{\sqrt{3}}{3} < x < \frac{\sqrt{3}}{3}$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | $x > \frac{\sqrt{3}}{3}$ |

| ------------------ | ---------------------- | ---------------------- | -------------------------------- | --------------------- | ---------------------- |

| y'' | + | 0 | - | 0 | + |

| y | 下に凸 | 変曲点 | 上に凸 | 変曲点 | 下に凸 |

(2) $y = x + \cos(2x) \quad (0 \le x \le \pi)$

1階微分:

$y' = 1 - 2\sin(2x)$

2階微分:

$y'' = -4\cos(2x)$

$y'' = 0$ となる $x$ を求めます。

$-4\cos(2x) = 0$

$\cos(2x) = 0$

$2x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, ...$

$x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$ (ただし、$0 \le x \le \pi$)

増減表（凹凸表）を作成します。

| x | $0 \le x < \frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{4} < x < \frac{3\pi}{4}$ | $\frac{3\pi}{4}$ | $\frac{3\pi}{4} < x \le \pi$ |

| ------------------ | ---------------------- | --------------------- | -------------------------------- | --------------------- | ---------------------- |

| y'' | - | 0 | + | 0 | - |

| y | 上に凸 | 変曲点 | 下に凸 | 変曲点 | 上に凸 |

3. 最終的な答え

(1)

$x < -\frac{\sqrt{3}}{3}$ および $x > \frac{\sqrt{3}}{3}$ で下に凸。

$-\frac{\sqrt{3}}{3} < x < \frac{\sqrt{3}}{3}$ で上に凸。

変曲点は $x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

(2)

$0 \le x < \frac{\pi}{4}$ および $\frac{3\pi}{4} < x \le \pi$ で上に凸。

$\frac{\pi}{4} < x < \frac{3\pi}{4}$ で下に凸。

変曲点は $x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$