次の極限を求めよ。 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(2x)}{1 - \cos x}$

1. 問題の内容

次の極限を求めよ。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(2x)}{1 - \cos x}$

2. 解き方の手順

まず、$\sin^2(2x)$ を $\sin(2x) \cdot \sin(2x)$ と書き換えます。

次に、$1-\cos x$に $1+\cos x$を掛けて分子にも同じものを掛けます。すると、$1 - \cos^2 x = \sin^2 x$となります。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(2x)}{1 - \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x) \cdot \sin(2x)}{1 - \cos x} \cdot \frac{1 + \cos x}{1 + \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x) \cdot \sin(2x) \cdot (1 + \cos x)}{1 - \cos^2 x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x) \cdot \sin(2x) \cdot (1 + \cos x)}{\sin^2 x}$

$\sin(2x) = 2\sin x \cos x$ なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{(2\sin x \cos x)(2\sin x \cos x)(1 + \cos x)}{\sin^2 x} = \lim_{x \to 0} \frac{4 \sin^2 x \cos^2 x (1 + \cos x)}{\sin^2 x} = \lim_{x \to 0} 4 \cos^2 x (1 + \cos x)$

$x \to 0$ のとき $\cos x \to 1$ なので、

$\lim_{x \to 0} 4 \cos^2 x (1 + \cos x) = 4 \cdot 1^2 \cdot (1 + 1) = 4 \cdot 1 \cdot 2 = 8$

3. 最終的な答え

8