次の極限を求めます。 $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{x - \frac{\pi}{2}}{\tan x}$

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{x - \frac{\pi}{2}}{\tan x}$

2. 解き方の手順

この極限は不定形 ($\frac{0}{-\infty}$ or $\frac{0}{\infty}$) になります。

$x - \frac{\pi}{2} = t$ と置換すると、$x = t + \frac{\pi}{2}$となり、$x \to \frac{\pi}{2}$ のとき $t \to 0$となります。

したがって、極限は次のように書き換えられます。

$\lim_{t \to 0} \frac{t}{\tan (t + \frac{\pi}{2})}$

三角関数の加法定理より、

$\tan (t + \frac{\pi}{2}) = \frac{\tan t + \tan \frac{\pi}{2}}{1 - \tan t \tan \frac{\pi}{2}}$

$\tan \frac{\pi}{2}$ は定義されないので、別の方法を考えます。

$\tan (t + \frac{\pi}{2}) = - \cot t = -\frac{\cos t}{\sin t}$ となります。

したがって、極限は次のように書き換えられます。

$\lim_{t \to 0} \frac{t}{-\frac{\cos t}{\sin t}} = \lim_{t \to 0} - \frac{t \sin t}{\cos t}$

$\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$ を利用すると、

$\lim_{t \to 0} - \frac{t \sin t}{\cos t} = \lim_{t \to 0} - \frac{t^2 \frac{\sin t}{t}}{\cos t} = - \frac{0^2 \cdot 1}{1} = 0$

よって、

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{x - \frac{\pi}{2}}{\tan x} = 0$

3. 最終的な答え

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