$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x \sin x}$ の値をロピタルの定理を用いて求め、$\frac{1}{[ア]}$ の形で表したときの$[ア]$に入る数字を求める。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x \sin x}$ の値をロピタルの定理を用いて求め、$\frac{1}{[ア]}$ の形で表したときの$[ア]$に入る数字を求める。

2. 解き方の手順

ロピタルの定理を用いる。

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x \sin x}$ において、$x \to 0$ のとき $\cos x - 1 \to 0$ かつ $x \sin x \to 0$ なので、不定形 $\frac{0}{0}$ である。

したがって、ロピタルの定理を用いて、分子と分母をそれぞれ微分した極限を考える。

$\frac{d}{dx}(\cos x - 1) = -\sin x$

$\frac{d}{dx}(x \sin x) = \sin x + x \cos x$

$\lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{\sin x + x \cos x}$

$x \to 0$ のとき $-\sin x \to 0$ かつ $\sin x + x \cos x \to 0$ なので、再び不定形 $\frac{0}{0}$ である。

再度ロピタルの定理を用いて、分子と分母をそれぞれ微分した極限を考える。

$\frac{d}{dx}(-\sin x) = -\cos x$

$\frac{d}{dx}(\sin x + x \cos x) = \cos x + \cos x - x \sin x = 2 \cos x - x \sin x$

$\lim_{x \to 0} \frac{-\cos x}{2 \cos x - x \sin x} = \frac{-\cos 0}{2 \cos 0 - 0 \cdot \sin 0} = \frac{-1}{2 \cdot 1 - 0} = -\frac{1}{2}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x \sin x} = -\frac{1}{2}$

したがって、$-\frac{1}{2} = \frac{1}{-2}$ より、$[ア]$ に入る数字は $-2$ である。

3. 最終的な答え

-2