$\lim_{x\to 0} \frac{\cos x - 1}{x \sin x}$ の極限値をロピタルの定理を用いて求め、その結果を $-\frac{1}{ア}$ の形で表すとき、ア に入る数字を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x\to 0} \frac{\cos x - 1}{x \sin x}$ の極限値をロピタルの定理を用いて求め、その結果を $-\frac{1}{ア}$ の形で表すとき、ア に入る数字を求める問題です。

2. 解き方の手順

ロピタルの定理を適用するため、まず $x=0$ を代入すると $\frac{\cos 0 - 1}{0 \cdot \sin 0} = \frac{1-1}{0} = \frac{0}{0}$ となり、不定形であることが確認できます。

ロピタルの定理より、分子と分母をそれぞれ微分して極限を計算します。

分子の微分: $\frac{d}{dx}(\cos x - 1) = -\sin x$

分母の微分: $\frac{d}{dx}(x \sin x) = \sin x + x \cos x$

したがって、

$$\lim_{x\to 0} \frac{\cos x - 1}{x \sin x} = \lim_{x\to 0} \frac{-\sin x}{\sin x + x \cos x}$$

再び $x=0$ を代入すると $\frac{-\sin 0}{\sin 0 + 0 \cdot \cos 0} = \frac{0}{0}$ となり、まだ不定形です。再度ロピタルの定理を適用します。

分子の微分: $\frac{d}{dx}(-\sin x) = -\cos x$

分母の微分: $\frac{d}{dx}(\sin x + x \cos x) = \cos x + \cos x - x \sin x = 2\cos x - x \sin x$

したがって、

$$\lim_{x\to 0} \frac{-\sin x}{\sin x + x \cos x} = \lim_{x\to 0} \frac{-\cos x}{2\cos x - x \sin x}$$

ここで $x=0$ を代入すると、

$$\frac{-\cos 0}{2\cos 0 - 0 \cdot \sin 0} = \frac{-1}{2\cdot 1 - 0} = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}$$

求める極限値は $-\frac{1}{2}$ です。

3. 最終的な答え

ア: 2