次の極限を求める問題です。 $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{x - \frac{\pi}{2}}{\tan x}$

1. 問題の内容

次の極限を求める問題です。

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{x - \frac{\pi}{2}}{\tan x}$

2. 解き方の手順

この極限は不定形 $\frac{0}{-\infty}$ の形をしているため、直接計算することは難しいです。そこで、ロピタルの定理を利用します。

ロピタルの定理は、$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ が $\frac{0}{0}$ または $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形の場合、$\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ が存在すれば、$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ が成り立つというものです。

まず、関数 $f(x) = x - \frac{\pi}{2}$ と $g(x) = \tan x$ を定義します。

$f'(x) = 1$

$g'(x) = \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$

したがって、

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{x - \frac{\pi}{2}}{\tan x} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{1}{\frac{1}{\cos^2 x}} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \cos^2 x = \cos^2 (\frac{\pi}{2}) = 0^2 = 0$

3. 最終的な答え

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