$a$を実数とする。$\theta$の方程式 $2\cos^2\theta + \sqrt{3}\sin2\theta - 4a(\sqrt{3}\cos\theta + \sin\theta - 2) + 5 = 0$ において、$0 \le \theta < 2\pi$の範囲で解の個数を考える。 $t = \cos(\theta - \frac{\pi}{6})$とおくとき、与えられた方程式を変形し、$a$の値の範囲や方程式の解の個数を求める問題。

1. 問題の内容

$a$を実数とする。$\theta$の方程式

$2\cos^2\theta + \sqrt{3}\sin2\theta - 4a(\sqrt{3}\cos\theta + \sin\theta - 2) + 5 = 0$

において、$0 \le \theta < 2\pi$の範囲で解の個数を考える。

$t = \cos(\theta - \frac{\pi}{6})$とおくとき、与えられた方程式を変形し、$a$の値の範囲や方程式の解の個数を求める問題。

2. 解き方の手順

まず、$t = \cos(\theta - \frac{\pi}{6})$を変形する。

$t = \cos\theta\cos\frac{\pi}{6} + \sin\theta\sin\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta + \frac{1}{2}\sin\theta$

$2t = \sqrt{3}\cos\theta + \sin\theta$

$4t^2 = (\sqrt{3}\cos\theta + \sin\theta)^2 = 3\cos^2\theta + 2\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta + \sin^2\theta = 2\cos^2\theta + 1 + \sqrt{3}\sin2\theta$

$2\cos^2\theta + \sqrt{3}\sin2\theta = 4t^2 - (\cos^2\theta + \sin^2\theta) = 4t^2-1$

$2\cos^2\theta + \sqrt{3}\sin2\theta = 4t^2-1$

よって、

$2\cos^2\theta + \sqrt{3}\sin2\theta - 4a(\sqrt{3}\cos\theta + \sin\theta - 2) + 5 = 0$

$4t^2 - 1 - 4a(2t-2) + 5 = 0$

$4t^2 - 1 - 8at + 8a + 5 = 0$

$4t^2 - 8at + 8a + 4 = 0$

$t^2 - 2at + 2a + 1 = 0$

$t = \cos(\theta - \frac{\pi}{6})$より、$-1 \le t \le 1$。

$t$の2次方程式$t^2 - 2at + 2a + 1 = 0$が$-1 < t < 1$の範囲で異なる2つの実数解をもつための$a$の条件を考える。

$f(t) = t^2 - 2at + 2a + 1$とする。

$f(t) = (t-a)^2 - a^2 + 2a + 1$

軸は$t = a$。

$f(-1) = (-1)^2 - 2a(-1) + 2a + 1 = 1 + 2a + 2a + 1 = 4a + 2 > 0$

$f(1) = 1^2 - 2a(1) + 2a + 1 = 1 - 2a + 2a + 1 = 2 > 0$

$-1 < a < 1$でなければならない

判別式$D = (-2a)^2 - 4(2a+1) = 4a^2 - 8a - 4 = 4(a^2 - 2a - 1) > 0$

$a^2 - 2a - 1 > 0$

$a = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$

よって、$a < 1 - \sqrt{2}$または$a > 1 + \sqrt{2}$

$-1 < a < 1$と合わせて、$-1 < a < 1-\sqrt{2}$

$\theta = \frac{\pi}{6}$のとき、$t = \cos(0) = 1$

$\theta = \frac{7\pi}{6}$のとき、$t = \cos(\pi) = -1$

$-1<t<1$のとき、$\theta$は2個存在する

$t=1$のとき、$\theta$は1個存在する

$t=-1$のとき、$\theta$は1個存在する

$t^2 - 2at + 2a + 1 = 0$

$t_1,t_2 \in (-1,1)$

よって$\theta$は4個存在する。

$t^2 - 2at + 2a + 1 = 0$が3個の解をもつためには、$t=1$または$t=-1$のどちらかを解に持つ必要がある

(i) $t = 1$のとき、$1 - 2a + 2a + 1 = 0$となり、$2 = 0$となるので不適

(ii) $t = -1$のとき、$1 + 2a + 2a + 1 = 0$より、$4a + 2 = 0$、$a = -\frac{1}{2}$

$t^2 + t = 0$より、$t = 0, -1$となり、$-1<t<1$に解が1つ、$t = -1$に解が1つなのでOK

3. 最終的な答え

ア：1

イ：$\sqrt{3}$

ウ：0

エ：2

オ：$\sqrt{3}$

カ：2

キ：2

ク：1

ケ：①

コ：4

サシ：-1

ス：2