以下の極限値を求める問題です。 $\lim_{x \to \infty} x (\tan^{-1}x - \frac{\pi}{2})$ これは、$\lim_{x \to \infty} \frac{\tan^{-1}x - \frac{\pi}{2}}{\frac{1}{x}}$ と書き換えられます。

1. 問題の内容

以下の極限値を求める問題です。

$\lim_{x \to \infty} x (\tan^{-1}x - \frac{\pi}{2})$

これは、$\lim_{x \to \infty} \frac{\tan^{-1}x - \frac{\pi}{2}}{\frac{1}{x}}$ と書き換えられます。

2. 解き方の手順

この極限は $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を使うことができます。

まず、$\tan^{-1}x$ の微分を求めます。 $(\tan^{-1}x)' = \frac{1}{1+x^2}$

次に、ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to \infty} \frac{\tan^{-1}x - \frac{\pi}{2}}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1+x^2}}{-\frac{1}{x^2}}$

整理すると、

$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1+x^2}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{-x^2}{1+x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{-1}{\frac{1}{x^2}+1}$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{1}{x^2} \to 0$ なので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{-1}{\frac{1}{x^2}+1} = \frac{-1}{0+1} = -1$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} x (\tan^{-1}x - \frac{\pi}{2}) = -1$

3. 最終的な答え

-1