与えられた極限 $\lim_{x \to 0} \frac{3\sin^{-1}(\frac{x}{5})}{x}$ を計算する。

1. 問題の内容

与えられた極限 $\lim_{x \to 0} \frac{3\sin^{-1}(\frac{x}{5})}{x}$ を計算する。

2. 解き方の手順

$\sin^{-1}(x)$ の $x=0$ におけるテイラー展開（またはマクローリン展開）は、$\sin^{-1}(x) = x + \frac{1}{6}x^3 + \cdots$ である。したがって、$x \to 0$ のとき、$\sin^{-1}(x) \approx x$ と近似できる。

そこで、与えられた極限の $\sin^{-1}(\frac{x}{5})$ を $\frac{x}{5}$ で近似すると、

$$\lim_{x \to 0} \frac{3\sin^{-1}(\frac{x}{5})}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{3(\frac{x}{5})}{x}$$

となる。

これを計算すると、

$$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{3x}{5}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{3x}{5x} = \lim_{x \to 0} \frac{3}{5} = \frac{3}{5}$$

別の解き方として、ロピタルの定理を用いる。

$\lim_{x \to 0} \frac{3\sin^{-1}(\frac{x}{5})}{x}$ は $\frac{0}{0}$ の不定形であるため、ロピタルの定理が適用できる。

分子を $x$ で微分すると、

$$\frac{d}{dx} \left( 3\sin^{-1}\left(\frac{x}{5}\right) \right) = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - \left(\frac{x}{5}\right)^2}} \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{5\sqrt{1 - \frac{x^2}{25}}}$$

分母を $x$ で微分すると、

$$\frac{d}{dx}(x) = 1$$

よって、

$$\lim_{x \to 0} \frac{3\sin^{-1}(\frac{x}{5})}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{5\sqrt{1 - \frac{x^2}{25}}}}{1} = \frac{\frac{3}{5\sqrt{1 - 0}}}{1} = \frac{3}{5}$$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{5}$