与えられた極限 $\lim_{x \to 1} \frac{1 - x^2}{\sin(x - 1)}$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた極限 $\lim_{x \to 1} \frac{1 - x^2}{\sin(x - 1)}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、分子を因数分解します。

$1 - x^2 = (1 - x)(1 + x) = -(x - 1)(1 + x)$

与えられた極限は、

$\lim_{x \to 1} \frac{1 - x^2}{\sin(x - 1)} = \lim_{x \to 1} \frac{-(x - 1)(1 + x)}{\sin(x - 1)} = \lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{\sin(x - 1)} \cdot \lim_{x \to 1} -(1 + x)$

$\lim_{x \to 1} \frac{\sin(x - 1)}{x - 1} = 1$ であるから、$\lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{\sin(x - 1)} = 1$

$\lim_{x \to 1} -(1 + x) = -(1 + 1) = -2$

したがって、

$\lim_{x \to 1} \frac{1 - x^2}{\sin(x - 1)} = 1 \cdot (-2) = -2$

3. 最終的な答え

-2